南京师范大学 2021年高等代数第8题
📝 题目
8．（每小题 10 分，共 20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，它的 $n$ 个特征值排序成 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明：
（1）对于 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}(\mathbf{R}$ 为实数域）中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，都有
$$
\lambda_{n} \leq \frac{\alpha A \alpha}{|\alpha|^{2}} \leq \lambda_{1}
$$
（2）$\displaystyle \lambda_{n} \leq a_{i i} \leq \lambda_{1}, i=1,2, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正交对角化将二次型标准化
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值。对任意非零向量 $\alpha \in \mathbb{R}^n$，令 $\beta = Q^T \alpha$，则 $\alpha = Q \beta$，且 $|\alpha|^2 = \beta^T \beta = |\beta|^2$。
公式：Q^T A Q = \Lambda, \quad \alpha = Q \beta
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且保持向量长度不变。
步骤 2/6
目标：将 Rayleigh 商转化为特征值的加权平均
计算 Rayleigh 商：
$$
\frac{\alpha^T A \alpha}{|\alpha|^2} = \frac{\beta^T Q^T A Q \beta}{|\beta|^2} = \frac{\beta^T \Lambda \beta}{|\beta|^2} = \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i \beta_i^2}{\sum_{i=1}^n \beta_i^2}.
$$
这里 $\beta = (\beta_1, \ldots, \beta_n)^T$。
公式：\frac{\alpha^T A \alpha}{|\alpha|^2} = \frac{\sum \lambda_i \beta_i^2}{\sum \beta_i^2}
提示：注意 $\beta_i$ 是实数，且 $\beta$ 非零，分母为正。
步骤 3/6
目标：利用特征值排序得到不等式
由于 $\lambda_n \leq \lambda_i \leq \lambda_1$ 对所有 $i$ 成立，且 $\beta_i^2 \geq 0$，有
$$
\lambda_n \sum_{i=1}^n \beta_i^2 \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i \beta_i^2 \leq \lambda_1 \sum_{i=1}^n \beta_i^2.
$$
两边除以正数 $\sum \beta_i^2$，即得
$$
\lambda_n \leq \frac{\alpha^T A \alpha}{|\alpha|^2} \leq \lambda_1.
$$
公式：\lambda_n \sum \beta_i^2 \leq \sum \lambda_i \beta_i^2 \leq \lambda_1 \sum \beta_i^2
提示：注意不等式方向：乘以正数不改变不等号方向。
步骤 4/6
目标：证明（1）完成
因此，对于任意非零向量 $\alpha$，Rayleigh 商介于最小和最大特征值之间。
步骤 5/6
目标：利用特殊向量证明（2）
取 $\alpha = e_i$，即第 $i$ 个标准单位向量（第 $i$ 分量为1，其余为0）。则 $|\alpha|^2 = 1$，且 $\alpha^T A \alpha = a_{ii}$。代入（1）中的不等式，立即得到
$$
\lambda_n \leq a_{ii} \leq \lambda_1, \quad i=1,\ldots,n.
$$
公式：a_{ii} = e_i^T A e_i
提示：注意 $e_i$ 是单位向量，长度为1。
步骤 6/6
目标：证明（2）完成
因此，矩阵的对角元介于最小和最大特征值之间。
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