南京师范大学 2022年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分）计算下列行列式：
（1）$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1+x_{1}^{2} & x_{1} x_{2} & \cdots & x_{1} x_{n} \\ x_{2} x_{1} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & x_{2} x_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n} x_{1} & x_{n} x_{2} & \cdots & 1+x_{n}^{2}\end{array}\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 3\end{array}\right|$ ，求 $\displaystyle A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ ，其中 $\displaystyle A_{i j}$ 代表元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：加边法构造n+1阶行列式
将原行列式加一行一列，构造n+1阶行列式：
\[ D_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ 0 & 1+x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n \\ 0 & x_2x_1 & 1+x_2^2 & \cdots & x_2x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_nx_1 & x_nx_2 & \cdots & 1+x_n^2 \end{vmatrix} \]
提示：加边法不改变行列式的值，注意第一行和第一列的构造。
步骤 2/9
目标：消去第一列下方元素
将第一行乘以$-x_i$加到第$i+1$行（$i=1,\dots,n$），得到：
\[ D_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ -x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -x_2 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -x_n & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix} \]
提示：注意行变换后，第$i+1$行第1列变为$-x_i$，对角线元素变为1。
步骤 3/9
目标：化为上三角行列式
将第2列到第n+1列分别乘以$x_i$加到第一列，得到：
\[ D_n = \begin{vmatrix} 1+\sum_{i=1}^n x_i^2 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix} \]
提示：列变换时，第一列元素变为$1+\sum x_i^2$，其余元素不变。
步骤 4/9
目标：计算上三角行列式
上三角行列式的值等于对角线元素的乘积，即：
\[ D_n = 1 + \sum_{i=1}^n x_i^2 \]
公式：上三角行列式 = 对角线元素乘积
提示：注意第一行第一列元素是$1+\sum x_i^2$，其余对角线元素为1。
步骤 5/9
目标：将代数余子式之和转化为行列式
代数余子式之和$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$等于将第四行元素全部换成1后所得行列式的值：
\[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
公式：按行展开定理：$\sum_{j=1}^n b_j A_{ij} = \det(\text{将第i行换成}b_1,\dots,b_n)$
提示：注意代数余子式与余子式的关系，符号由行号和列号决定。
步骤 6/9
目标：化简行列式
将第2行乘以$-1$加到第4行，得：
\[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \]
公式：行变换不改变行列式的值
提示：注意行变换时，第4行减去第2行，得到第4行全0除了最后一列。
步骤 7/9
目标：按第四行展开
按第四行展开，只有第4列非零，得：
\[ (-1) \cdot (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} \]
公式：按行展开：$\det = \sum_{j} a_{4j} (-1)^{4+j} M_{4j}$
提示：注意代数余子式的符号$(-1)^{4+4}=1$，但元素为-1，所以整体为负。
步骤 8/9
目标：计算三阶行列式
计算三阶行列式：
\[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot1\cdot3 + 1\cdot1\cdot4 + (-3)\cdot1\cdot2 - (-3)\cdot1\cdot4 - 2\cdot1\cdot2 - 1\cdot1\cdot3 = 6+4-6+12-4-3 = 9 \]
公式：三阶行列式对角线法则
提示：注意符号：主对角线乘积和减去副对角线乘积和。
步骤 9/9
目标：得出结果
所以原行列式等于$-9$，即$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44} = -9$。
提示：最终结果不要忘记负号。
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