📝 南京师范大学 2022年高等代数真题

1．（20分）计算下列行列式：
（1）$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1+x_{1}^{2} & x_{1} x_{2} & \cdots & x_{1} x_{n} \\ x_{2} x_{1} & 1+x_{2}^{2} & \cdots & x_{2} x_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n} x_{1} & x_{n} x_{2} & \cdots & 1+x_{n}^{2}\end{array}\right|$ ．
（2）设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & -3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 3\end{array}\right|$ ，求 $\displaystyle A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ ，其中 $\displaystyle A_{i j}$ 代表元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式。

2．（15分）当 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 取何值时，以下非齐次线性方程组有解，在有解的情况下写出通解 （用导出组的基础解系与特解的线性组合表示）。

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\
5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=6
\end{array}\right.
$$

3．（15分）设 A 是数域 P 上的 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (\mathrm{A})=\mathrm{r}$ 的充分必要条件是存在秩为 r 的列满秩矩阵 M 和秩为 r 的行满矩阵 N ，使得 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{MN}$ ．

4．（10分）设 M 为半正定矩阵，且可以分块成 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & D\end{array}\right)$ ，其中 A 为方阵，设 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M), \lambda_{\text {max }}(A), \lambda_{\text {max }}(D)$ 分别是 $\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M) \leq \lambda_{\text {max }}(A)+\lambda_{\text {max }}(D)$ ．

5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为：

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式；
（2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。

6．（15分）设 P 是数域，$\displaystyle m<n, A \in P^{m \times n}, B \in P^{(n-m) \times n} V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次线性方程组 $\displaystyle \mathrm{AX}=0$ 与 $\displaystyle \mathrm{BX}=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 只有零解．

7．（ 20 分）设 A 是 n 阶实对称正定矩阵， B 是 n 阶实反称矩阵，求证：
（1） B 的特征值为 0 或纯虚数；
（2）$\displaystyle |\mathrm{A}+\mathrm{B}|>0$ ．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是两两不相等的整数．
（1）证明：当 n 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约；
（2）当 $\displaystyle \mathrm{n}=4$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上还是否一定不可约？请说明理由．

9．（15分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)<$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)$ ，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ ．