南京师范大学 2022年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是两两不相等的整数．
（1）证明：当 n 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约；
（2）当 $\displaystyle \mathrm{n}=4$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上还是否一定不可约？请说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设可约并分解
假设 $f(x)$ 在有理数域上可约，则由 Gauss 引理，存在非平凡分解 $f(x) = g(x)h(x)$，其中 $g(x), h(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 且次数均小于 $n$。
提示：注意 Gauss 引理：本原多项式在有理数域上可约等价于在整数环上可约。
步骤 2/6
目标：利用 $f(a_i)=1$ 推出 $g(a_i)=h(a_i)=\pm 1$
对每个 $i=1,\dots,n$，有 $f(a_i)=1$，故 $g(a_i)h(a_i)=1$。由于 $g(a_i), h(a_i)$ 是整数，所以 $g(a_i)=\pm 1$，$h(a_i)=\pm 1$，且 $g(a_i)=h(a_i)$（因为乘积为1）。
提示：注意整数乘积为1时，每个因子只能是±1。
步骤 3/6
目标：构造多项式 $p(x)=g(x)-h(x)$ 并证明其为零
令 $p(x)=g(x)-h(x)$，则 $p(a_i)=0$ 对所有 $i$ 成立，故 $p(x)$ 有 $n$ 个不同的根 $a_1,\dots,a_n$。但 $\deg(p) \leq \max(\deg(g),\deg(h)) < n$，所以 $p(x)$ 必须是零多项式，即 $g(x)=h(x)$。
提示：非零多项式次数不超过根的数量时，多项式恒为零。
步骤 4/6
目标：导出矛盾
由 $g(x)=h(x)$ 得 $f(x)=[g(x)]^2$。由于 $f(x)$ 首一且次数为 $n$，故 $\deg(g)=n/2$。当 $n$ 为奇数时，$n/2$ 不是整数，矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
提示：注意多项式次数必须为整数。
步骤 5/6
目标：分析 $n=4$ 时的可约性
当 $n=4$ 时，上述证明中 $n/2=2$ 是整数，因此不能直接推出矛盾。实际上存在反例：取 $a_1=0, a_2=2, a_3=3, a_4=5$，则 $f(x)=x(x-2)(x-3)(x-5)+1 = (x^2-5x+1)^2$，可约。
提示：验证反例时需计算乘积并配方。
步骤 6/6
目标：总结结论
（1）当 $n$ 为奇数时，$f(x)$ 在有理数域上不可约。（2）当 $n=4$ 时，$f(x)$ 不一定不可约，存在可约的反例。
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