南京师范大学 2022年高等代数第9题
📝 题目
9．（15分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)<$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)$ ，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数并比较大小
设 $\dim V_1 = r$, $\dim V_2 = s$，由题设 $r < s$。
提示：注意维数不等式方向：$r < s$。
步骤 2/5
目标：考虑正交补的维数
考虑 $V_1$ 的正交补 $V_1^\perp$，其维数为 $\dim V_1^\perp = n - r$。
公式：$\dim V_1^\perp = n - \dim V_1$
提示：正交补的维数公式：$\dim U^\perp = n - \dim U$。
步骤 3/5
目标：应用维数公式求交的维数下界
利用维数公式：$\dim(V_2 \cap V_1^\perp) = \dim V_2 + \dim V_1^\perp - \dim(V_2 + V_1^\perp)$。由于 $V_2 + V_1^\perp$ 是 $V$ 的子空间，有 $\dim(V_2 + V_1^\perp) \leq n$，因此 $\dim(V_2 \cap V_1^\perp) \geq s + (n - r) - n = s - r > 0$。
公式：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W)$
提示：注意 $\dim(V_2+V_1^\perp) \leq n$，不能直接等于 $n$，但下界不等式成立。
步骤 4/5
目标：得出交空间非零
由 $\dim(V_2 \cap V_1^\perp) > 0$ 可知 $V_2 \cap V_1^\perp$ 含有非零向量，即存在非零向量 $\alpha \in V_2 \cap V_1^\perp$。
提示：维数大于0意味着空间非平凡。
步骤 5/5
目标：解释正交性
由于 $\alpha \in V_1^\perp$，根据正交补的定义，$\alpha$ 与 $V_1$ 中所有向量正交。又 $\alpha \in V_2$，故 $\alpha$ 是 $V_2$ 中非零向量且正交于 $V_1$。
公式：$V_1^\perp = \{ x \in V \mid \langle x, y \rangle = 0, \forall y \in V_1 \}$
提示：注意正交补的定义：与 $V_1$ 中每个向量正交。
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