南京师范大学 2022年高等代数第4题
📝 题目
4．（10分）设 M 为半正定矩阵，且可以分块成 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & D\end{array}\right)$ ，其中 A 为方阵，设 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M), \lambda_{\text {max }}(A), \lambda_{\text {max }}(D)$ 分别是 $\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M) \leq \lambda_{\text {max }}(A)+\lambda_{\text {max }}(D)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明A和D半正定
由于$M$半正定，对任意向量$x=\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$，有$x^T M x \geq 0$。取$v=0$得$u^T A u \geq 0$，故$A$半正定；同理取$u=0$得$D$半正定。
提示：注意半正定矩阵的定义：对任意向量$x$，$x^T M x \geq 0$。
步骤 2/6
目标：利用半正定矩阵的分解
因为$M$半正定，存在矩阵$C$使得$M = C^T C$。将$C$分块为$C = (C_1 \, C_2)$，则$A = C_1^T C_1$，$D = C_2^T C_2$，$B = C_1^T C_2$。
公式：M = C^T C
提示：任何半正定矩阵都可以分解为$C^T C$的形式，其中$C$不唯一。
步骤 3/6
目标：用谱范数表示最大特征值
对于半正定矩阵，最大特征值等于其谱范数（即最大奇异值）。因此$\lambda_{\max}(M) = \|C\|^2$，$\lambda_{\max}(A) = \|C_1\|^2$，$\lambda_{\max}(D) = \|C_2\|^2$。
公式：\lambda_{\max}(M) = \|C\|^2
提示：谱范数定义为$\|C\| = \max_{\|x\|=1} \|Cx\|$。
步骤 4/6
目标：估计$\|Cx\|^2$
对任意单位向量$x = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$，有$\|Cx\|^2 = \|C_1 u + C_2 v\|^2 \leq (\|C_1 u\| + \|C_2 v\|)^2 \leq (\|C_1\| \|u\| + \|C_2\| \|v\|)^2$。
公式：\|Cx\|^2 \leq (\|C_1\| \|u\| + \|C_2\| \|v\|)^2
提示：使用三角不等式和范数的相容性。
步骤 5/6
目标：应用Cauchy-Schwarz不等式
由Cauchy-Schwarz不等式：$(\|C_1\| \|u\| + \|C_2\| \|v\|)^2 \leq (\|C_1\|^2 + \|C_2\|^2)(\|u\|^2 + \|v\|^2) = (\lambda_{\max}(A) + \lambda_{\max}(D)) \|x\|^2$。
公式：(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2) 或 Cauchy-Schwarz
提示：注意$\|u\|^2+\|v\|^2 = \|x\|^2 = 1$。
步骤 6/6
目标：得到最终不等式
因此$\|Cx\|^2 \leq \lambda_{\max}(A) + \lambda_{\max}(D)$对任意单位向量$x$成立。取最大值得$\lambda_{\max}(M) = \max_{\|x\|=1} \|Cx\|^2 \leq \lambda_{\max}(A) + \lambda_{\max}(D)$。
公式：\lambda_{\max}(M) \leq \lambda_{\max}(A) + \lambda_{\max}(D)
提示：注意等号不一定成立，例如当$B=0$且$A,D$的最大特征值对应的特征向量正交时等号成立。
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