南京师范大学 2022年高等代数第3题
📝 题目
3．（15分）设 A 是数域 P 上的 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (\mathrm{A})=\mathrm{r}$ 的充分必要条件是存在秩为 r 的列满秩矩阵 M 和秩为 r 的行满矩阵 N ，使得 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{MN}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：利用标准形分解
设 $\operatorname{rank}(A)=r$。则存在可逆矩阵 $P_{m\times m}$ 和 $Q_{n\times n}$，使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。于是 $A = P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}$。
公式：$PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $P^{-1}$ 和 $Q^{-1}$ 也是可逆的。
步骤 2/5
目标：必要性：构造M和N
令 $M$ 为 $P^{-1}$ 的前 $r$ 列构成的 $m\times r$ 矩阵，$N$ 为 $Q^{-1}$ 的前 $r$ 行构成的 $r\times n$ 矩阵。则 $A = MN$。因为 $P^{-1}$ 可逆，其前 $r$ 列线性无关，所以 $\operatorname{rank}(M)=r$；同理 $\operatorname{rank}(N)=r$。
公式：$A = MN$
提示：注意 $M$ 是列满秩，$N$ 是行满秩。
步骤 3/5
目标：充分性：秩的不等式
若存在 $m\times r$ 矩阵 $M$ 和 $r\times n$ 矩阵 $N$，且 $\operatorname{rank}(M)=\operatorname{rank}(N)=r$，使得 $A=MN$。则 $\operatorname{rank}(A) \leq \min\{\operatorname{rank}(M), \operatorname{rank}(N)\} = r$。
公式：$\operatorname{rank}(A) \leq \min\{\operatorname{rank}(M), \operatorname{rank}(N)\}$
提示：矩阵乘积的秩不超过各因子的秩。
步骤 4/5
目标：充分性：利用左逆和右逆
由于 $M$ 列满秩，存在左逆 $L$ 使得 $LM=I_r$；$N$ 行满秩，存在右逆 $R$ 使得 $NR=I_r$。于是 $I_r = LMNR = LAR$，所以 $r = \operatorname{rank}(I_r) \leq \operatorname{rank}(A)$。
公式：$I_r = LAR$
提示：列满秩矩阵存在左逆，行满秩矩阵存在右逆。
步骤 5/5
目标：充分性：得出秩相等
由 $\operatorname{rank}(A) \leq r$ 和 $\operatorname{rank}(A) \geq r$，得 $\operatorname{rank}(A)=r$。
提示：结合两个不等式得到相等。
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