南京师范大学 2022年高等代数第5题
📝 题目
5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为：
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式；
（2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求特征多项式
线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的矩阵为 $A$，则 $\mathscr{A}$ 的最小多项式等于矩阵 $A$ 的最小多项式。首先求 $A$ 的特征多项式：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ 1 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2(\lambda-2)$$
公式：$$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2(\lambda-2)$$
提示：按第一行展开行列式时，注意符号和零元素。
步骤 2/7
目标：确定最小多项式的可能形式
特征值为 $\lambda_1 = 1$（代数重数2），$\lambda_2 = 2$（代数重数1）。最小多项式是特征多项式的因式，且包含所有不同特征值，可能的形式为 $(\lambda-1)(\lambda-2)$ 或 $(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。
提示：最小多项式必须整除特征多项式，且与特征多项式有相同的根。
步骤 3/7
目标：验证最小多项式是否为 $(\lambda-1)(\lambda-2)$
计算 $(A - I)(A - 2I)$：
$$A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
$$(A - I)(A - 2I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$$
所以最小多项式不是 $(\lambda-1)(\lambda-2)$。
提示：计算矩阵乘积时注意顺序，并检查结果是否为零矩阵。
步骤 4/7
目标：验证最小多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda-2)$
计算 $(A - I)^2(A - 2I)$：
$$(A - I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
$$(A - I)^2(A - 2I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
因此最小多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda-2)$。
提示：注意 $(A-I)^2$ 的计算，以及乘积为零矩阵。
步骤 5/7
目标：求特征值2的根子空间 $V_2$
由最小多项式，$V$ 可分解为根子空间的直和：$V = V_1 \oplus V_2$，其中 $V_1 = \ker(\mathscr{A} - \mathscr{I})^2$，$V_2 = \ker(\mathscr{A} - 2\mathscr{I})$。
先求 $V_2$：解 $(A - 2I)X = 0$。
$$A - 2I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
基础解系：$\xi_2 = (0,1,0)^T$，所以 $V_2$ 的基为 $\beta_2 = \alpha_2$。
提示：解齐次线性方程组时，化为行最简形，注意自由变量的选取。
步骤 6/7
目标：求特征值1的根子空间 $V_1$
求 $V_1$：解 $(A - I)^2 X = 0$。
$$(A - I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
秩为1，解空间维数为2。解方程：$x_2 + x_3 = 0$，基础解系：$\xi_1^{(1)} = (1,0,0)^T$，$\xi_1^{(2)} = (0,1,-1)^T$。所以 $V_1$ 的基为 $\beta_1 = \alpha_1$，$\beta_3 = \alpha_2 - \alpha_3$。
提示：注意 $(A-I)^2$ 的秩，以及基础解系的线性无关性。
步骤 7/7
目标：写出直和分解
因此 $V = V_1 \oplus V_2$，其中 $V_1$ 的基为 $\alpha_1, \alpha_2 - \alpha_3$，$V_2$ 的基为 $\alpha_2$。两个子空间都是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，且维数分别为2和1，均为非平凡。
提示：验证子空间的和为直和，即交为零空间。
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