南京师范大学 2022年高等代数第7题

设B为n阶实反称矩阵，即$B^T = -B$。对任意特征值$\lambda \in \mathbb{C}$，存在非零向量$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n$使得$B\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。考虑共轭转置：$\overline{\mathbf{x}}^T B \mathbf{x} = \lambda \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$。

由于$B^T = -B$，有$\overline{\mathbf{x}}^T B \mathbf{x} = (\overline{\mathbf{x}}^T B \mathbf{x})^T = \mathbf{x}^T B^T \overline{\mathbf{x}} = -\mathbf{x}^T B \overline{\mathbf{x}}$。

计算$\mathbf{x}^T B \overline{\mathbf{x}}$的共轭：$\overline{\mathbf{x}^T B \overline{\mathbf{x}}} = \overline{\mathbf{x}}^T \overline{B} \mathbf{x} = \overline{\mathbf{x}}^T B \mathbf{x}$（因为B是实矩阵），所以$\mathbf{x}^T B \overline{\mathbf{x}} = \overline{\overline{\mathbf{x}}^T B \mathbf{x}} = \overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$。代入得$\overline{\mathbf{x}}^T B \mathbf{x} = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$。

由前两步得到$\lambda \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = -\overline{\lambda} \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$，即$(\lambda + \overline{\lambda}) \overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = 0$。由于$\mathbf{x} \neq 0$，$\overline{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} > 0$，故$\lambda + \overline{\lambda} = 0$，即$\lambda$的实部为0。所以$\lambda = 0$或纯虚数。

由于A正定，存在可逆矩阵P使得$A = P^T P$。则$A+B = P^T P + B = P^T (I + (P^T)^{-1} B P^{-1}) P$。令$C = (P^T)^{-1} B P^{-1}$，则C是实反称矩阵（因为$C^T = (P^{-1})^T B^T P^{-1} = - (P^{-1})^T B P^{-1} = -C$）。于是$|A+B| = |P^T| \cdot |I+C| \cdot |P| = |P|^2 \cdot |I+C|$。

C是实反称矩阵，其特征值为0或纯虚数，且成对共轭出现。设C的特征值为$\pm i\mu_k$（$\mu_k \in \mathbb{R}$）和0（若有）。则$I+C$的特征值为$1 \pm i\mu_k$和1（对应0特征值）。每个$1 \pm i\mu_k$的模为$\sqrt{1+\mu_k^2} > 0$，且乘积为正实数（因为共轭对乘积为$1+\mu_k^2 > 0$）。所以$|I+C| = \prod (1+\mu_k^2) > 0$。因此$|A+B| > 0$。