南京师范大学 2022年高等代数第6题
📝 题目
6．（15分）设 P 是数域，$\displaystyle m<n, A \in P^{m \times n}, B \in P^{(n-m) \times n} V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次线性方程组 $\displaystyle \mathrm{AX}=0$ 与 $\displaystyle \mathrm{BX}=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 只有零解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：定义符号和已知条件
设 $V_1 = \{X \in P^n \mid AX=0\}$，$V_2 = \{X \in P^n \mid BX=0\}$，并令 $C = \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \in P^{n \times n}$。注意 $m+(n-m)=n$，所以 $C$ 是 $n \times n$ 方阵。
提示：注意 $C$ 的行数等于列数，因此是方阵。
步骤 2/8
目标：必要性证明：假设 $P^n = V_1 \oplus V_2$，推出 $CX=0$ 只有零解
假设 $P^n = V_1 \oplus V_2$，则 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。若 $CX=0$，则 $AX=0$ 且 $BX=0$，即 $X \in V_1 \cap V_2$，所以 $X=0$。故 $CX=0$ 只有零解。
提示：注意直和的条件是 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $V_1+V_2=P^n$。
步骤 3/8
目标：充分性证明：假设 $CX=0$ 只有零解，推出 $C$ 可逆
假设 $CX=0$ 只有零解，即 $\ker C = \{0\}$，所以 $\dim \ker C = 0$。由于 $C$ 是 $n \times n$ 矩阵，其行秩为 $n$，故 $C$ 可逆。
提示：方阵只有零解等价于可逆。
步骤 4/8
目标：推导 $A$ 和 $B$ 的行秩
因为 $C$ 可逆，其行向量线性无关，所以 $A$ 的行向量线性无关，$B$ 的行向量也线性无关。因此 $\operatorname{rank}(A)=m$，$\operatorname{rank}(B)=n-m$。
提示：注意 $A$ 有 $m$ 行，$B$ 有 $n-m$ 行，且它们合起来线性无关，所以各自的行秩等于行数。
步骤 5/8
目标：计算 $V_1$ 和 $V_2$ 的维数
由齐次线性方程组解空间的维数公式：$\dim V_1 = n - \operatorname{rank}(A) = n-m$，$\dim V_2 = n - \operatorname{rank}(B) = n-(n-m)=m$。因此 $\dim V_1 + \dim V_2 = (n-m)+m = n$。
公式：$\dim \ker A = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2$ 的维数之和等于 $n$。
步骤 6/8
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $AX=0$ 且 $BX=0$，即 $CX=0$。由假设 $CX=0$ 只有零解，得 $X=0$。故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意这里直接使用了 $CX=0$ 只有零解的条件。
步骤 7/8
目标：由维数公式和交为零推出直和
由于 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，根据维数公式 $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2) = n$，所以 $V_1+V_2 = P^n$。因此 $P^n = V_1 \oplus V_2$。
公式：$\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$
提示：注意直和的条件是 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $V_1+V_2 = P^n$。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上，$P^n = V_1 \oplus V_2$ 的充分必要条件是 $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} X=0$ 只有零解。
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