南京师范大学 2023年高等代数第1题
📝 题目
1．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$a$ 是一个整数，若
$$
f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1
$$
证明：对任意的整数 $\displaystyle c, f(c) \neq-1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助多项式
令 $g(x)=f(x)-1$，则 $g(x)$ 仍是整系数多项式。由已知条件 $f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1$，可得 $g(a)=g(a+1)=g(a+2)=0$。
公式：g(x)=f(x)-1
提示：注意整系数多项式加减整数后仍为整系数多项式。
步骤 2/6
目标：因式分解
由于 $g(x)$ 有三个整数根 $a, a+1, a+2$，根据因式定理，$g(x)$ 可被 $(x-a)(x-a-1)(x-a-2)$ 整除。因此存在整系数多项式 $h(x)$ 使得 $g(x)=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)h(x)$。
公式：g(x)=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)h(x)
提示：确保 $h(x)$ 是整系数多项式，因为 $g(x)$ 和三个一次因式都是整系数的。
步骤 3/6
目标：反证法假设
假设存在整数 $c$ 使得 $f(c)=-1$，则 $g(c)=f(c)-1=-2$。代入上式得 $(c-a)(c-a-1)(c-a-2)h(c)=-2$。
公式：(c-a)(c-a-1)(c-a-2)h(c)=-2
提示：注意 $h(c)$ 是整数，因为 $h(x)$ 是整系数多项式，$c$ 是整数。
步骤 4/6
目标：分析连续整数的性质
设 $t=c-a$，则 $c-a, c-a-1, c-a-2$ 是三个连续整数 $t, t-1, t-2$。三个连续整数中必有一个是3的倍数，因此乘积 $t(t-1)(t-2)$ 是3的倍数。
公式：t(t-1)(t-2) 是3的倍数
提示：三个连续整数中必有一个被3整除，这是数论基本性质。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
由于 $t(t-1)(t-2)$ 是3的倍数，左边 $(c-a)(c-a-1)(c-a-2)h(c)$ 也是3的倍数，但右边 $-2$ 不是3的倍数，矛盾。
公式：3 | 左边，但 3 ∤ -2
提示：注意 $h(c)$ 是整数，乘积的整除性不受影响。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，对任意整数 $c$，$f(c) \neq -1$。
提示：反证法结论要明确。
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