📝 南京师范大学 2023年高等代数真题

1．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$a$ 是一个整数，若

$$
f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1
$$

证明：对任意的整数 $\displaystyle c, f(c) \neq-1$ ．

2．（20分）叙述并证明高斯引理．

3．（20分）计算 $\displaystyle 2 n$ 阶行列式

$$
D_{2 n}=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{n} & & & & \\
& \ddots & & & b_{n} \\
& & a_{1} & b_{1} & \\
& & c_{1} & d_{1} & \\
& \cdot & & & \ddots \\
c_{n} & & & & \\
& & & & d_{n}
\end{array}\right|
$$

4．（20分）设有齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
(1+a) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\
2 x_{1}+(2+a) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=0 \\
\cdots \cdots \\
n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n+a) x_{n}=0
\end{array}\right.
$$

试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出通解．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，证明：
（1）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的根均大于 0 ；
（2）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的所有根等于 1 当且仅当 $\displaystyle A=B$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1} \subseteq V_{3}$ ．证明：

$$
V_{1}+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)=\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}
$$

7．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是实系数多项式，证明：$\displaystyle W=\{f(x) \mid f(1)=0, \partial(f(x)) \leq n$ 或 $\displaystyle f(x)=0\}$ 是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基．

8．（10 分）证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\displaystyle A, B$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=A B+B^{2}$ ．