南京师范大学 2023年高等代数第8题
📝 题目
8．（10 分）证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\displaystyle A, B$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=A B+B^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设与等式变形
假设存在 $n$ 阶正交矩阵 $A, B$ 满足 $A^2 = AB + B^2$。将等式移项得 $A^2 - B^2 = AB$。
公式：$A^2 - B^2 = AB$
提示：注意正交矩阵满足 $A^T A = I$，$A^T = A^{-1}$。
步骤 2/5
目标：取转置并利用正交性
对 $A^2 - B^2 = AB$ 两边取转置，得 $(A^2 - B^2)^T = (AB)^T$，即 $(A^T)^2 - (B^T)^2 = B^T A^T$。由于 $A^T = A^{-1}$，$B^T = B^{-1}$，代入得 $A^{-2} - B^{-2} = B^{-1} A^{-1}$。
公式：$A^{-2} - B^{-2} = B^{-1} A^{-1}$
提示：转置运算时注意 $(AB)^T = B^T A^T$。
步骤 3/5
目标：左乘右乘化简
将 $A^{-2} - B^{-2} = B^{-1} A^{-1}$ 左乘 $A^2$，右乘 $B^2$，得 $A^2 (A^{-2} - B^{-2}) B^2 = A^2 (B^{-1} A^{-1}) B^2$。左边化简为 $B^2 - A^2$，右边化简为 $A B$，因此得到 $B^2 - A^2 = AB$。
公式：$B^2 - A^2 = AB$
提示：注意矩阵乘法不交换，左乘和右乘顺序不能错。
步骤 4/5
目标：导出矛盾
由原等式 $A^2 - B^2 = AB$ 和上一步得到的 $B^2 - A^2 = AB$ 相加，得 $(A^2 - B^2) + (B^2 - A^2) = AB + AB$，即 $0 = 2AB$，所以 $AB = 0$。但正交矩阵可逆，$AB$ 也可逆，不可能为零矩阵，矛盾。
公式：$0 = 2AB$
提示：正交矩阵的行列式为 $\pm 1$，因此可逆，乘积也可逆。
步骤 5/5
目标：结论
因此假设不成立，不存在 $n$ 阶正交矩阵 $A, B$ 使得 $A^2 = AB + B^2$。
提示：反证法：假设存在，推出矛盾。
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