南京师范大学 2023年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是实系数多项式，证明：$\displaystyle W=\{f(x) \mid f(1)=0, \partial(f(x)) \leq n$ 或 $\displaystyle f(x)=0\}$ 是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：定义线性空间V和子集W
设 $V = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x] \mid \partial(f(x)) \leq n \}$，则 $V$ 是实数域上的线性空间。定义 $W = \{ f(x) \in V \mid f(1)=0 \}$。
提示：注意 $V$ 包含零多项式，其次数视为 $\leq n$。
步骤 2/8
目标：验证非空性
零多项式 $0$ 满足 $0(1)=0$ 且次数视为 $\leq n$，故 $0 \in W$，$W$ 非空。
提示：零多项式是任何线性空间的元素，不要遗漏。
步骤 3/8
目标：验证加法封闭性
对任意 $f,g \in W$，有 $f(1)=g(1)=0$，则 $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0$，且 $\partial(f+g) \leq \max\{\partial f, \partial g\} \leq n$，故 $f+g \in W$。
提示：多项式加法次数不超过最高次数，但注意可能抵消导致次数降低，仍满足 $\leq n$。
步骤 4/8
目标：验证数乘封闭性
对任意 $f \in W$ 和 $k \in \mathbb{R}$，有 $(kf)(1)=k f(1)=0$，且 $\partial(kf) = \partial f \leq n$（若 $k \neq 0$），或 $kf=0$，故 $kf \in W$。
提示：当 $k=0$ 时得到零多项式，属于 $W$；当 $k \neq 0$ 时次数不变。
步骤 5/8
目标：结论：W是子空间
由上述三条，$W$ 是 $V$ 的子空间，从而是实数域上的线性空间。
提示：子空间验证的三个条件缺一不可。
步骤 6/8
目标：分析W中多项式的结构
由于 $f(1)=0$，$x-1$ 是 $f(x)$ 的因式。设 $f(x)=(x-1)g(x)$，其中 $g(x) \in \mathbb{R}[x]$ 且 $\partial g \leq n-1$。
公式：因式定理：若 $f(1)=0$，则 $(x-1) \mid f(x)$。
提示：注意 $g(x)$ 的次数不超过 $n-1$，因为 $f$ 次数不超过 $n$。
步骤 7/8
目标：表示g(x)并展开f(x)
设 $g(x)=a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1}$，则 $f(x)=(x-1)\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i = \sum_{i=0}^{n-1} a_i (x^{i+1} - x^i)$。
提示：展开时注意每一项的系数对应。
步骤 8/8
目标：求出一组基
由上式，$W$ 中任意多项式可表示为 $\{x-1, x^2-x, \ldots, x^n - x^{n-1}\}$ 的线性组合。这 $n$ 个多项式线性无关（因为次数互不相同），且张成 $W$，故为 $W$ 的一组基。
提示：基的个数为 $n$，因为 $\dim V = n+1$，而 $W$ 是 $V$ 中满足一个线性条件的子空间，维数减1。
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