南京师范大学 2023年高等代数第6题
📝 题目
6．（20分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1} \subseteq V_{3}$ ．证明：
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V_{1}+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)=\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定符号并明确目标
设 $W = V_1 + (V_2 \cap V_3)$，$U = (V_1 + V_2) \cap V_3$。需要证明 $W = U$。通常通过证明两个方向的包含关系来完成。
提示：注意区分集合相等与包含关系，证明两个集合相等需证双向包含。
步骤 2/8
目标：证明 $W \subseteq U$ 的第一步：取任意元素并分解
任取 $\alpha \in W$，则存在 $\alpha_1 \in V_1$，$\alpha_2 \in V_2 \cap V_3$，使得 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。
公式：$W = V_1 + (V_2 \cap V_3)$ 的定义
提示：注意 $\alpha_2$ 同时属于 $V_2$ 和 $V_3$。
步骤 3/8
目标：证明 $W \subseteq U$ 第二步：验证 $\alpha \in V_3$
由于 $\alpha_1 \in V_1 \subseteq V_3$（已知 $V_1 \subseteq V_3$），且 $\alpha_2 \in V_3$，而 $V_3$ 是子空间，对加法封闭，所以 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \in V_3$。
公式：子空间对加法封闭
提示：必须使用条件 $V_1 \subseteq V_3$，否则结论不成立。
步骤 4/8
目标：证明 $W \subseteq U$ 第三步：验证 $\alpha \in V_1 + V_2$
因为 $\alpha_1 \in V_1 \subseteq V_1 + V_2$，$\alpha_2 \in V_2 \subseteq V_1 + V_2$，而 $V_1 + V_2$ 是子空间，对加法封闭，所以 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 \in V_1 + V_2$。
公式：子空间和对加法封闭
提示：注意 $V_1 + V_2$ 是包含 $V_1$ 和 $V_2$ 的最小子空间。
步骤 5/8
目标：完成 $W \subseteq U$ 的证明
由 $\alpha \in V_3$ 且 $\alpha \in V_1 + V_2$，得 $\alpha \in (V_1 + V_2) \cap V_3 = U$。因此 $W \subseteq U$。
提示：注意交集的定义。
步骤 6/8
目标：证明 $U \subseteq W$ 第一步：取任意元素并分解
任取 $\beta \in U$，则 $\beta \in V_1 + V_2$ 且 $\beta \in V_3$。由 $\beta \in V_1 + V_2$，存在 $\beta_1 \in V_1$，$\beta_2 \in V_2$，使得 $\beta = \beta_1 + \beta_2$。
公式：$V_1 + V_2$ 的定义
提示：注意分解不唯一，但只需存在一组即可。
步骤 7/8
目标：证明 $U \subseteq W$ 第二步：证明 $\beta_2 \in V_3$
由于 $\beta \in V_3$ 且 $\beta_1 \in V_1 \subseteq V_3$，而 $V_3$ 是子空间，对减法封闭，所以 $\beta_2 = \beta - \beta_1 \in V_3$。因此 $\beta_2 \in V_2 \cap V_3$。
公式：子空间对减法封闭
提示：这里再次用到 $V_1 \subseteq V_3$，且注意减法封闭性。
步骤 8/8
目标：完成 $U \subseteq W$ 的证明并总结
于是 $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + (V_2 \cap V_3) = W$。故 $U \subseteq W$。由 $W \subseteq U$ 和 $U \subseteq W$ 得 $W = U$，即等式成立。
提示：注意最后总结，证明完成。
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