南京师范大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，证明：
（1）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的根均大于 0 ；
（2）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的所有根等于 1 当且仅当 $\displaystyle A=B$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用正定矩阵的合同变换化简
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = I$。令 $B_1 = P^T B P$，则 $B_1$ 也是正定矩阵（因为 $B$ 正定，合同变换保持正定性）。
公式：$P^T A P = I$
提示：注意正定矩阵的合同变换仍为正定矩阵，且 $P$ 可逆。
步骤 2/7
目标：将行列式转化为特征多项式
计算 $|\lambda A - B|$：$|\lambda A - B| = |P^T| \cdot |\lambda I - B_1| \cdot |P| = |P|^2 |\lambda I - B_1|$。因此 $|\lambda A - B| = 0$ 当且仅当 $|\lambda I - B_1| = 0$，即 $\lambda$ 是 $B_1$ 的特征值。
公式：$|\lambda A - B| = |P|^2 |\lambda I - B_1|$
提示：注意行列式的乘法性质：$|P^T| = |P|$。
步骤 3/7
目标：证明根均大于0
由于 $B_1$ 正定，其特征值全大于0，故方程 $|\lambda A - B| = 0$ 的根均大于0。
提示：正定矩阵的特征值均为正数。
步骤 4/7
目标：将根全为1的条件转化为特征值全为1
由（1）知，方程 $|\lambda A - B| = 0$ 的根就是 $B_1$ 的特征值。所有根等于1当且仅当 $B_1$ 的所有特征值均为1，即 $B_1 = I$。
公式：$B_1 = I$
提示：实对称矩阵可正交对角化，特征值全为1则矩阵为单位阵。
步骤 5/7
目标：推导 $A = B$ 的充分性
由 $B_1 = P^T B P = I$ 得 $B = (P^T)^{-1} P^{-1} = (P P^T)^{-1}$。又由 $P^T A P = I$ 得 $A = (P^T)^{-1} P^{-1} = (P P^T)^{-1}$，所以 $A = B$。
公式：$A = (P P^T)^{-1}$, $B = (P P^T)^{-1}$
提示：注意 $(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$，但此处直接计算逆矩阵。
步骤 6/7
目标：证明 $A = B$ 的必要性
若 $A = B$，则 $|\lambda A - B| = |\lambda A - A| = |A| \cdot |\lambda I - I| = |A| (\lambda - 1)^n$，根全为1。
公式：$|\lambda A - A| = |A| (\lambda - 1)^n$
提示：注意 $|\lambda A - A| = |A(\lambda I - I)| = |A| |\lambda I - I|$。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，方程 $|\lambda A - B| = 0$ 的所有根等于1当且仅当 $A = B$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。