南京师范大学 2023年高等代数第2题
📝 题目
2．（20分）叙述并证明高斯引理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：陈述高斯引理
高斯引理：设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 和 $g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0$ 是整系数多项式，且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是本原多项式（即系数互素），则它们的乘积 $f(x)g(x)$ 也是本原多项式。
提示：注意本原多项式的定义：整系数多项式的所有系数的最大公因数为1。
步骤 2/6
目标：假设结论不成立，引入素数p
假设 $f(x)g(x)$ 不是本原多项式，则存在素数 $p$ 整除 $f(x)g(x)$ 的所有系数。
提示：这里使用反证法，假设乘积不是本原多项式，即存在素数整除所有系数。
步骤 3/6
目标：模p约化多项式
将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的系数模 $p$，得到 $ overline{f}(x)$ 和 $ overline{g}(x)$，它们是 $ mathbb{F}_p[x]$ 中的多项式。由于 $p$ 整除 $f(x)g(x)$ 的所有系数，有 $ overline{f}(x) overline{g}(x)=0$ 在 $ mathbb{F}_p[x]$ 中。
公式：$\overline{f}(x)\overline{g}(x) = 0$ in $\mathbb{F}_p[x]$
提示：模p约化时，注意系数模p后多项式乘积的系数对应原多项式乘积系数的模p。
步骤 4/6
目标：利用域上多项式环是整环
由于 $ mathbb{F}_p$ 是域，$ mathbb{F}_p[x]$ 是整环，因此从 $ overline{f}(x) overline{g}(x)=0$ 可推出 $ overline{f}(x)=0$ 或 $ overline{g}(x)=0$。
公式：整环性质：若 $ab=0$，则 $a=0$ 或 $b=0$
提示：整环中无零因子，这是关键推理步骤。
步骤 5/6
目标：推出矛盾
若 $ overline{f}(x)=0$，则 $p$ 整除 $f(x)$ 的所有系数，这与 $f(x)$ 是本原多项式矛盾。同理，若 $ overline{g}(x)=0$，则 $p$ 整除 $g(x)$ 的所有系数，与 $g(x)$ 是本原多项式矛盾。
提示：本原多项式要求系数互素，即不存在素数整除所有系数。
步骤 6/6
目标：结论成立
因此假设不成立，$f(x)g(x)$ 必为本原多项式。高斯引理得证。
提示：反证法结束，结论成立。
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