南京师范大学 2023年高等代数第3题
📝 题目
3．（20分）计算 $\displaystyle 2 n$ 阶行列式
$$
D_{2 n}=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{n} & & & & \\
& \ddots & & & b_{n} \\
& & a_{1} & b_{1} & \\
& & c_{1} & d_{1} & \\
& \cdot & & & \ddots \\
c_{n} & & & & \\
& & & & d_{n}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察行列式结构
观察行列式 $D_{2n}$，其非零元素仅位于主对角线和副对角线上。主对角线元素为 $a_n, \ldots, a_1, d_1, \ldots, d_n$，副对角线元素为 $b_n, \ldots, b_1, c_1, \ldots, c_n$。行列式呈现反对角线形式，但并非标准分块对角矩阵。
提示：注意元素排列顺序：左上角是 $a_n$，右下角是 $d_n$，但中间有 $a_1, b_1, c_1, d_1$ 交叉。
步骤 2/6
目标：通过行交换重排行序
将第 $2n$ 行依次与第 $2n-1, 2n-2, \ldots, n+1$ 行交换，共进行 $n$ 次相邻行交换。每次交换改变一次符号，因此符号变化为 $(-1)^n$。
提示：行交换次数为 $n$，不要漏算。
步骤 3/6
目标：通过列交换重排列序
将第 $2n$ 列依次与第 $2n-1, 2n-2, \ldots, n+1$ 列交换，同样进行 $n$ 次相邻列交换，符号变化为 $(-1)^n$。总符号变化为 $(-1)^{2n}=1$，即行列式值不变。
提示：列交换次数也是 $n$，总交换次数为 $2n$，符号为 $(-1)^{2n}=1$。
步骤 4/6
目标：得到分块对角形式
经过行和列的重排后，行列式变为分块对角矩阵：
$$D_{2n} = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & & & & \\
c_1 & d_1 & & & & \\
& & a_2 & b_2 & & \\
& & c_2 & d_2 & & \\
& & & & \ddots & \\
& & & & & a_n & b_n \\
& & & & & c_n & d_n
\end{vmatrix}$$
每个 $2\times 2$ 块位于主对角线上。
提示：注意块顺序：原来 $a_1, b_1, c_1, d_1$ 在中间，现在移到左上角第一个块。
步骤 5/6
目标：应用拉普拉斯展开或分块行列式性质
对于分块对角矩阵，行列式等于各块行列式的乘积。因此：
$$D_{2n} = \prod_{i=1}^n \begin{vmatrix} a_i & b_i \\ c_i & d_i \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n (a_i d_i - b_i c_i).$$
公式：分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。
提示：确保每个 $2\times 2$ 块的行列式计算正确，注意符号。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原 $2n$ 阶行列式的值为：
$$D_{2n} = \prod_{i=1}^n (a_i d_i - b_i c_i).$$
提示：最终结果是一个乘积形式，不要遗漏下标 $i$。
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