南京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．计算行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
y+x_{1} & y^{2}+x_{1}^{2} & \cdots & y^{n}+x_{1}^{n} \\
y+x_{2} & y^{2}+x_{2}^{2} & \cdots & y^{n}+x_{2}^{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
y+x_{n} & y^{2}+x_{n}^{2} & \cdots & y^{n}+x_{n}^{n}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分行列式为两个行列式之和
观察行列式 $D_n$ 的每一列，第 $j$ 列元素为 $y^j + x_i^j$，其中 $i=1,\dots,n$。根据行列式的线性性质，可以将每一列拆分为两个列的和，从而将原行列式拆分为两个行列式的和：
$$D_n = \begin{vmatrix} y & y^2 & \cdots & y^n \\ y & y^2 & \cdots & y^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y & y^2 & \cdots & y^n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}$$
公式：行列式的线性性质：若某列可拆分为两个列向量之和，则行列式等于两个行列式之和。
提示：注意拆分时每一列都要同时拆分，且其他列保持不变。
步骤 2/5
目标：计算第一个行列式
第一个行列式的所有行完全相同（每一行都是 $(y, y^2, \dots, y^n)$），因此该行列式的值为0。因为如果行列式有两行相同，则行列式为0。
公式：若行列式有两行相同，则行列式值为0。
提示：注意这里行相同，不是列相同。
步骤 3/5
目标：化简第二个行列式
第二个行列式为 $\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix}$。从每一列中提取公因子：第 $j$ 列提取 $x_i^j$ 中的 $x_i$？实际上，我们可以从每一行提取公因子 $x_i$，但更标准的方法是：从第 $j$ 列提取 $x_i^j$ 中的 $x_i$？注意，这里每列的元素是 $x_i^j$，但不同行不同。正确的做法是：从每一行提取 $x_i$，得到：
$$\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{vmatrix} = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$$
公式：行列式提取公因子：若某行（列）有公因子，可提到行列式外。
提示：注意提取的是每行的公因子 $x_i$，而不是每列。提取后第一列变为全1。
步骤 4/5
目标：识别范德蒙行列式
得到的行列式 $\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$ 是标准的范德蒙行列式，其值为 $\prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$。
公式：范德蒙行列式：$\begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (a_j - a_i)$
提示：注意范德蒙行列式的形式：第一列全1，第二列是 $x_i$，第三列是 $x_i^2$，依此类推。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
因此，原行列式 $D_n$ 等于第二个行列式，即：
$$D_n = \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$$
提示：注意结果中 $x_i$ 的乘积与差积的乘积，不要遗漏因子。
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