📝 南京师范大学 2026年高等代数真题

1．计算行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & \cdots & 1 & a_{1} \\
& & & a_{2} & 3 \\
& & . & & \vdots \\
& a_{n-1} & & & 3 \\
a_{n} & & & & 3
\end{array}\right| \text {, 其中 } a_{i} \neq 0(i=1,2, \cdots, n) \text {. }
$$

2．计算行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
y+x_{1} & y^{2}+x_{1}^{2} & \cdots & y^{n}+x_{1}^{n} \\
y+x_{2} & y^{2}+x_{2}^{2} & \cdots & y^{n}+x_{2}^{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
y+x_{n} & y^{2}+x_{n}^{2} & \cdots & y^{n}+x_{n}^{n}
\end{array}\right|
$$

3．求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ * & * & * \\ * & * & *\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

4．求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的特征值及重数．

七．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 的 $n$ 个特征值满足 $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ ，设 $\displaystyle \alpha_{i}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．
（1）构造正交阵 $S$ ，使得 $\displaystyle S^{\prime} A S=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda_{1}=\min _{X \in \mathbb{R}^{n}, X^{\prime} X=1} X^{\prime} A X$ ．

三．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & 2 B \\ -4 B & B\end{array}\right)$ 的特征多项式为

$$
f(\lambda)=|\lambda E-(A+2 B)||\lambda E-(A-2 B)| .
$$

五．设 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 两两可交换，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，设 $\displaystyle A B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V, A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{1}, B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{2}$ ，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．

四．已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}+a_{n} x_{1}\right)^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 正定的充分必要条件．
（2）当 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 不是正定时，求它的秩．