南京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 的 $n$ 个特征值满足 $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ ，设 $\displaystyle \alpha_{i}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．
（1）构造正交阵 $S$ ，使得 $\displaystyle S^{\prime} A S=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda_{1}=\min _{X \in \mathbb{R}^{n}, X^{\prime} X=1} X^{\prime} A X$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题目条件
已知 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，特征值互异：$\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$，对应特征向量 $\alpha_i$。实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
提示：注意特征值互异是正交性的前提，但实对称矩阵即使有重特征值也能找到正交特征向量。
步骤 2/7
目标：构造正交矩阵 S
将特征向量 $\alpha_i$ 单位化：$\beta_i = \frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|}$，则 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ 构成标准正交基。令 $S = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n)$，则 $S$ 是正交矩阵，即 $S'S = I$。
公式：$\beta_i = \frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|}$
提示：单位化时注意范数不为零；正交矩阵要求列向量标准正交。
步骤 3/7
目标：验证对角化
计算 $S' A S$。由于 $A \beta_i = \lambda_i \beta_i$，有 $A S = A (\beta_1, \dots, \beta_n) = (\lambda_1 \beta_1, \dots, \lambda_n \beta_n)$。左乘 $S'$ 得 $S' A S = (\beta_i' \lambda_j \beta_j) = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，因为 $\beta_i' \beta_j = \delta_{ij}$。
公式：$S' A S = \operatorname{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\}$
提示：注意矩阵乘法顺序，$S' A S$ 的第 $(i,j)$ 元素为 $\beta_i' A \beta_j$。
步骤 4/7
目标：问题（2）转化
要证明 $\lambda_1 = \min_{X'X=1} X' A X$。对于任意单位向量 $X$，存在正交矩阵 $S$ 使得 $X = S Y$，其中 $Y = (y_1, \dots, y_n)'$ 满足 $Y'Y = X'X = 1$。
公式：$X = S Y, \quad Y'Y = 1$
提示：正交变换保持向量长度，即 $\|X\| = \|Y\|$。
步骤 5/7
目标：计算二次型
代入 $X = S Y$ 得 $X' A X = Y' S' A S Y = Y' \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$。
公式：$X' A X = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$
提示：利用 $S' A S$ 是对角矩阵简化计算。
步骤 6/7
目标：利用特征值顺序
由于 $\lambda_1$ 是最小特征值，且 $\sum y_i^2 = 1$，有 $\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \ge \lambda_1 \sum_{i=1}^n y_i^2 = \lambda_1$。等号成立当且仅当 $y_2 = \dots = y_n = 0$，即 $Y = (1,0,\dots,0)'$。
公式：$\sum \lambda_i y_i^2 \ge \lambda_1$
提示：注意 $y_i$ 可正可负，但平方和固定。
步骤 7/7
目标：取到最小值
当 $X = \beta_1 = \alpha_1 / \|\alpha_1\|$ 时，$X' A X = \beta_1' A \beta_1 = \lambda_1$。因此下界可达，故 $\lambda_1 = \min_{X'X=1} X' A X$。
公式：$\beta_1' A \beta_1 = \lambda_1$
提示：注意 $\beta_1$ 是单位特征向量，直接计算可得。
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