南京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．设 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 两两可交换，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，设 $\displaystyle A B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V, A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{1}, B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{2}$ ，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义解空间
设 $V_1 = \{x \in P^n \mid A x = 0\}$，$V_2 = \{x \in P^n \mid B x = 0\}$，$V = \{x \in P^n \mid AB x = 0\}$。
提示：注意 $V$ 是 $ABx=0$ 的解空间，不是 $A$ 或 $B$ 单独的解空间。
步骤 2/6
目标：证明 $V_1 + V_2 \subseteq V$
对任意 $x \in V_1$，有 $A x = 0$，则 $AB x = B A x = 0$（因为 $A,B$ 可交换），所以 $x \in V$。同理，对任意 $x \in V_2$，有 $B x = 0$，则 $AB x = A B x = 0$，所以 $x \in V$。因此 $V_1 + V_2 \subseteq V$。
公式：$AB = BA$
提示：利用交换性时注意顺序，$ABx = BAx$。
步骤 3/6
目标：证明 $V \subseteq V_1 + V_2$（构造分解）
对任意 $x \in V$，即 $AB x = 0$。由条件 $AC + BD = E$，两边右乘 $x$ 得 $AC x + BD x = x$。令 $x_1 = C x$，$x_2 = D x$，则 $x = A x_1 + B x_2$。
公式：$AC + BD = E$
提示：注意 $Cx$ 和 $Dx$ 是向量，$A x_1$ 和 $B x_2$ 是向量。
步骤 4/6
目标：证明 $A x_1 \in V_2$ 且 $B x_2 \in V_1$
由于 $A,B,C,D$ 两两可交换，有 $B(A x_1) = BA x_1 = AB x_1 = AB C x = C AB x = 0$，所以 $A x_1 \in V_2$。同理，$A(B x_2) = AB x_2 = AB D x = D AB x = 0$，所以 $B x_2 \in V_1$。因此 $x = A x_1 + B x_2 \in V_1 + V_2$，故 $V \subseteq V_1 + V_2$。
公式：$AB = BA$，$ABx=0$
提示：注意 $ABx=0$ 且 $C,D$ 与 $A,B$ 交换，所以 $CABx=0$。
步骤 5/6
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
若 $x \in V_1 \cap V_2$，则 $A x = 0$ 且 $B x = 0$。由 $AC + BD = E$ 得 $x = (AC+BD)x = A(Cx) + B(Dx) = 0 + 0 = 0$。所以 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$AC+BD=E$
提示：直接代入 $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 即可。
步骤 6/6
目标：结论
由 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，得 $V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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