南京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的特征值及重数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出特征多项式
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-1 & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。
公式：$\det(\lambda I - A)$
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 中 $A$ 的元素取负号。
步骤 2/7
目标：变量替换简化行列式
令 $x = \lambda - 1$，则行列式变为 $\begin{vmatrix} x & -2 & -2 \\ -2 & x & -2 \\ -2 & -2 & x \end{vmatrix}$。
公式：$x = \lambda - 1$
提示：替换后注意行列式结构对称，便于后续计算。
步骤 3/7
目标：列变换提取公因子
将第2列和第3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} x-4 & -2 & -2 \\ x-4 & x & -2 \\ x-4 & -2 & x \end{vmatrix} = (x-4) \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & x & -2 \\ 1 & -2 & x \end{vmatrix}$。
公式：行列式列变换性质：$\det(\dots)$
提示：列变换时注意其他列不变，提取公因子时确保第一列元素相同。
步骤 4/7
目标：行变换化为上三角
第2行和第3行分别减去第1行，得 $(x-4) \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & x+2 & 0 \\ 0 & 0 & x+2 \end{vmatrix}$。
公式：行列式行变换性质
提示：行变换时注意第1行不变，第2、3行减去第1行后，第1列下方元素变为0。
步骤 5/7
目标：计算上三角行列式
上三角行列式等于对角线元素乘积：$(x-4)(x+2)(x+2) = (x-4)(x+2)^2$。
公式：上三角行列式 $= \prod a_{ii}$
提示：注意对角线元素为 $1, x+2, x+2$，乘积时不要漏掉因子。
步骤 6/7
目标：回代得到特征多项式
将 $x = \lambda - 1$ 代回，得 $(\lambda-1-4)(\lambda-1+2)^2 = (\lambda-5)(\lambda+1)^2$。
提示：注意 $x-4 = \lambda-5$，$x+2 = \lambda+1$。
步骤 7/7
目标：确定特征值及其重数
令特征多项式为零，得 $\lambda_1 = 5$（单重），$\lambda_2 = -1$（二重）。
提示：重数由因式的指数决定：$(\lambda+1)^2$ 表示重数为2。
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