南京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数并引入记号
设 $\dim V = n$，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。记 $\operatorname{Im}\sigma = \sigma(V)$，$\operatorname{Ker}\sigma = \sigma^{-1}(0)$。设 $\dim \operatorname{Im}\sigma = r$，则需证明 $\dim \operatorname{Ker}\sigma = n - r$。
提示：注意零度与秩的定义：零度是核的维数，秩是像的维数。
步骤 2/5
目标：选取像的基及其原像
取 $\operatorname{Im}\sigma$ 的一组基 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$，则存在 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_r \in V$ 使得 $\sigma(\beta_i) = \alpha_i$（$i=1,\dots,r$）。再取 $\operatorname{Ker}\sigma$ 的一组基 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_{n-r}$。
公式：$\sigma(\beta_i) = \alpha_i$
提示：原像 $\beta_i$ 的存在性由像的定义保证，但原像不唯一，只需任取一个。
步骤 3/5
目标：证明向量组线性无关
设 $k_1\beta_1 + \cdots + k_r\beta_r + l_1\gamma_1 + \cdots + l_{n-r}\gamma_{n-r} = 0$。两边作用 $\sigma$，得 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_r\alpha_r = 0$。由于 $\alpha_1,\dots,\alpha_r$ 线性无关，故 $k_1 = \cdots = k_r = 0$。代入原式得 $l_1\gamma_1 + \cdots + l_{n-r}\gamma_{n-r} = 0$，由 $\gamma_1,\dots,\gamma_{n-r}$ 线性无关得 $l_1 = \cdots = l_{n-r} = 0$。因此这组向量线性无关。
公式：$\sigma(\sum k_i\beta_i + \sum l_j\gamma_j) = \sum k_i\alpha_i$
提示：注意核中向量作用 $\sigma$ 后为零，因此 $\sigma(\gamma_j)=0$。
步骤 4/5
目标：证明向量组生成整个空间
任取 $v \in V$，则 $\sigma(v) \in \operatorname{Im}\sigma$，故存在 $a_1,\dots,a_r$ 使得 $\sigma(v) = a_1\alpha_1 + \cdots + a_r\alpha_r$。令 $v' = a_1\beta_1 + \cdots + a_r\beta_r$，则 $\sigma(v') = \sigma(v)$，从而 $\sigma(v - v') = 0$，即 $v - v' \in \operatorname{Ker}\sigma$。于是存在 $b_1,\dots,b_{n-r}$ 使得 $v - v' = b_1\gamma_1 + \cdots + b_{n-r}\gamma_{n-r}$，故 $v = v' + (v - v') = \sum a_i\beta_i + \sum b_j\gamma_j$。因此 $V$ 可由 $\beta_1,\dots,\beta_r,\gamma_1,\dots,\gamma_{n-r}$ 线性表示。
公式：$\sigma(v - v') = 0$
提示：构造 $v'$ 时注意 $\sigma(v')$ 与 $\sigma(v)$ 相等，从而差在核中。
步骤 5/5
目标：得出维数关系并总结
综上，$\beta_1,\dots,\beta_r,\gamma_1,\dots,\gamma_{n-r}$ 是 $V$ 的一组基。由此得 $\dim V = r + (n - r) = n$，即 $\dim \operatorname{Im}\sigma + \dim \operatorname{Ker}\sigma = n$。因此 $\operatorname{rank}\sigma + \operatorname{null}\sigma = n$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Im}\sigma + \dim \operatorname{Ker}\sigma$
提示：注意这里 $n$ 是 $V$ 的维数，结论是线性变换的维数公式。
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