南京师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}+a_{n} x_{1}\right)^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 正定的充分必要条件．
（2）当 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 不是正定时，求它的秩．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开二次型并写出矩阵
将二次型展开：$f = \sum_{i=1}^n (x_i + a_i x_{i+1})^2 = \sum_{i=1}^n (x_i^2 + 2a_i x_i x_{i+1} + a_i^2 x_{i+1}^2)$，其中下标 $n+1$ 视为 $1$。整理得：$f = \sum_{i=1}^n (1 + a_{i-1}^2) x_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i x_i x_{i+1}$，其中 $a_0 = a_n$。对应的对称矩阵 $A$ 为：对角元 $A_{ii} = 1 + a_{i-1}^2$，次对角元 $A_{i,i+1}=A_{i+1,i}=a_i$（$i=1,\dots,n-1$），角落 $A_{1n}=A_{n1}=a_n$。
公式：$f = \sum_{i=1}^n (1 + a_{i-1}^2) x_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i x_i x_{i+1}$
提示：注意下标循环：$x_{n+1}=x_1$，$a_0=a_n$。
步骤 2/5
目标：利用平方和形式分析正定性
由于 $f$ 是平方和，显然 $f \geq 0$ 恒成立。$f$ 正定当且仅当 $f=0$ 只有零解，即方程组 $x_i + a_i x_{i+1}=0$（$i=1,\dots,n$）只有零解。
公式：$f=0 \iff x_i + a_i x_{i+1}=0,\ i=1,\dots,n$
提示：平方和形式的二次型半正定，正定性等价于零空间仅含零向量。
步骤 3/5
目标：推导方程组有非零解的条件
从方程组递推：$x_1 = -a_1 x_2$，$x_2 = -a_2 x_3$，...，$x_n = -a_n x_1$。代入得 $x_1 = (-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n x_1$，即 $(1 - (-1)^n \prod_{i=1}^n a_i) x_1 = 0$。若 $1 - (-1)^n \prod a_i \neq 0$，则 $x_1=0$，进而所有 $x_i=0$，方程组只有零解；若 $1 - (-1)^n \prod a_i = 0$，则 $x_1$ 可任意取值，存在非零解。
公式：$1 - (-1)^n \prod_{i=1}^n a_i = 0$
提示：注意符号：$(-1)^n$ 取决于 $n$ 的奇偶性。
步骤 4/5
目标：得出正定的充分必要条件
因此，$f$ 正定当且仅当方程组只有零解，即 $1 - (-1)^n \prod_{i=1}^n a_i \neq 0$，等价于 $\prod_{i=1}^n a_i \neq (-1)^n$。
公式：$\prod_{i=1}^n a_i \neq (-1)^n$
提示：必要条件也是充分的，因为平方和形式保证了半正定。
步骤 5/5
目标：分析不正定时的秩
当 $\prod a_i = (-1)^n$ 时，$f$ 半正定但不正定。此时方程组有非零解，且解空间维数为 $1$（因为 $x_1$ 自由，其余变量由 $x_1$ 唯一确定）。因此，零空间维数为 $1$，二次型的秩为 $n - 1$。
公式：$\text{rank}(f) = n - 1$
提示：秩等于矩阵的秩，也等于 $n$ 减去零空间维数。
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