南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．已知 $x^{5}+4=c_{0}+c_{1}(x+1)+c_{2}(x+1)^{2}+c_{3}(x+1)^{3}+c_{4}(x+1)^{4}+c_{5}(x+1)^{5}$ ，则 $c_{0}+c_{1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定常数项 c0
将 $x = -1$ 代入等式 $x^{5}+4=c_{0}+c_{1}(x+1)+c_{2}(x+1)^{2}+c_{3}(x+1)^{3}+c_{4}(x+1)^{4}+c_{5}(x+1)^{5}$，得 $(-1)^5 + 4 = c_0$，即 $c_0 = 3$。
公式：代入法：$f(a) = c_0$ 当 $x=a$ 时所有含 $(x+1)$ 的项为零
提示：注意 $(-1)^5 = -1$，所以 $c_0 = -1+4=3$，不要算错符号。
步骤 2/4
目标：对等式两边求导
对原等式两边关于 $x$ 求导，得 $5x^4 = c_1 + 2c_2(x+1) + 3c_3(x+1)^2 + 4c_4(x+1)^3 + 5c_5(x+1)^4$。
公式：求导法则：$\frac{d}{dx}(x+1)^n = n(x+1)^{n-1}$
提示：注意常数项 $c_0$ 的导数为0，不要遗漏。
步骤 3/4
目标：代入 x=-1 求 c1
将 $x = -1$ 代入求导后的等式，得 $5(-1)^4 = c_1$，即 $5 = c_1$，所以 $c_1 = 5$。
公式：代入法：$f'(-1) = c_1$
提示：注意 $(-1)^4 = 1$，所以 $c_1=5$，不要误算为 $-5$。
步骤 4/4
目标：计算 c0 + c1
由前两步得 $c_0 = 3$，$c_1 = 5$，因此 $c_0 + c_1 = 3 + 5 = 8$。
提示：简单加法，注意不要混淆。
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