📝 南京理工大学 2023年高等代数真题

1．已知 $x^{5}+4=c_{0}+c_{1}(x+1)+c_{2}(x+1)^{2}+c_{3}(x+1)^{3}+c_{4}(x+1)^{4}+c_{5}(x+1)^{5}$ ，则 $c_{0}+c_{1}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．排序 987654321 的逆序数为 $\_\_\_\_$ ．

3． 4 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-2,-1,1,2$ ，则 $\left|A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$。

4．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到 $\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \beta_{3}=\alpha_{3}$ 的过渡矩阵为 $A$ ，则 $A^{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

5．非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 ; \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=\lambda ; \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-\lambda\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

6．$t$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}$ 正定．

七．（12 分）证明：实反对称矩阵的特征值为 0 或纯虚数．

三．（10分）求 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 2
\end{array}\right| .
$$

九．（20 分）在数域 $P$ 上的线性空间 $\displaystyle P[x]_{3}=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2} \in P\right\}$ 上定义

$$
f_{t}: P[x]_{3} \rightarrow P, p(x) \mapsto p(t)
$$

其中 $\displaystyle t=0,-1,1$ ．
（1）证明：$\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是对偶空间 $\displaystyle L\left(P[x]_{3}, P\right)$ 的一组基；
（2）求 $\displaystyle P[x]_{3}$ 的一组基 $\displaystyle p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)$ ，使得 $\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是它的对偶基．

二．（10 分）判断 $\displaystyle f(x)=x^{5}+3 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}+3 x+1$ 是否有重因式，并说明理由．

五．（12 分）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E$ ，证明：$\displaystyle r(E-A)+r(E+A)=n$ ．

八．（12 分）设 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明：存在 $\displaystyle m \times r$ 的列满秩矩阵 $F$ 和 $\displaystyle r \times n$ 的行满秩矩阵 $G$ ，使得 $\displaystyle A=F G$ ．

六．（12 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明：$\displaystyle \{g(A) \mid g(x) \in P[x]\}$ 是 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的维数不超过 $n$ 的线性子空间。

十．（20 分）设 $A$ 为三阶实对称矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle (A-E) X=0$ 有一个非零解 $\displaystyle (1,-1,-1)^{T}$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有两个线性无关的解．
（1）求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的通解；
（2）求矩阵 $A$ ．

四．（12分）在线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中定义

$$
\mathscr{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, X \mapsto\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right) X-X\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$

（1）记 $\displaystyle E_{i j}(i, j=1,2)$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 其余元素为 0 的二阶方阵，求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩与零度．