南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到 $\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \beta_{3}=\alpha_{3}$ 的过渡矩阵为 $A$ ，则 $A^{4}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立过渡矩阵关系
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵为 $A$，即 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) A$。
公式：(β1, β2, β3) = (α1, α2, α3) A
提示：注意过渡矩阵的定义：从旧基到新基的矩阵，新基向量用旧基线性表示时系数矩阵的转置？这里直接按列向量组的关系，A的列是β在α下的坐标。
步骤 2/5
目标：根据已知关系写出矩阵A
由 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$, $\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$, $\beta_3 = \alpha_3$，得 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，因此 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意系数矩阵的列对应β的坐标，不要写错行。
步骤 3/5
目标：计算A的平方
计算 $A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法
提示：矩阵乘法时注意行乘列，逐元素计算。
步骤 4/5
目标：计算A的四次方
计算 $A^4 = (A^2)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 6 & 4 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵乘法的顺序，先算A^2再平方。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此 $A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 6 & 4 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：检查结果矩阵是否为下三角形式，符合预期。
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