南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6．$t$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}$ 正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+2x_3^2+2t x_1x_2-2x_1x_3$ 对应的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其元素 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此，$A=\begin{pmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$ 中，$A$ 为对称矩阵，$a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$a_{ij}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/7
目标：回顾正定二次型的判别条件
实二次型 $f(x)=x^TAx$ 正定的充要条件是矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式均大于0。即 $\Delta_1>0, \Delta_2>0, \Delta_3>0$。
公式：正定充要条件：$\Delta_k>0, k=1,2,\dots,n$。
提示：顺序主子式是从左上角开始依次取前 $k$ 行 $k$ 列构成的行列式。
步骤 3/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = |1| = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶主子式就是 $a_{11}$，本题中为1，始终大于0。
步骤 4/7
目标：计算二阶顺序主子式并求解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & t \\ t & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - t \cdot t = 4 - t^2$。要求 $\Delta_2 > 0$，即 $4 - t^2 > 0$，解得 $-2 < t < 2$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
提示：注意不等式方向，不要漏掉负号。
步骤 5/7
目标：计算三阶顺序主子式并求解不等式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - t \cdot \begin{vmatrix} t & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} t & 4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 2 - 0 \cdot 0) - t \cdot (t \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) -1 \cdot (t \cdot 0 - 4 \cdot (-1)) = 8 - 2t^2 - 4 = 4 - 2t^2$。要求 $\Delta_3 > 0$，即 $4 - 2t^2 > 0$，解得 $-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}$。
公式：行列式按行展开公式：$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$。
提示：计算行列式时注意符号，尤其是 $(-1)$ 的系数。
步骤 6/7
目标：综合各阶主子式条件
由 $\Delta_1>0$ 恒成立，$\Delta_2>0$ 得 $-20$ 得 $-\sqrt{2}
提示：注意取交集时，$\sqrt{2} \approx 1.414$，比2小，因此最终范围由三阶条件决定。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
因此，当 $t \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 时，二次型 $f$ 正定。
提示：最终答案用区间表示，注意开区间。
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