南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）判断 $\displaystyle f(x)=x^{5}+3 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}+3 x+1$ 是否有重因式，并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算导数
对 $f(x)=x^{5}+3x^{4}+5x^{3}+5x^{2}+3x+1$ 求导，得到 $f'(x)=5x^{4}+12x^{3}+15x^{2}+10x+3$。
公式：f'(x) = \frac{d}{dx}f(x)
提示：注意幂函数求导公式：$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$。
步骤 2/7
目标：辗转相除法第一步：f(x)除以f'(x)
用 $f'(x)$ 除 $f(x)$，商为 $\frac{1}{5}x$，余数 $r_1(x) = \frac{3}{5}x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+\frac{12}{5}x+1$。为方便，乘以5得 $5r_1(x)=3x^{4}+10x^{3}+15x^{2}+12x+5$。
公式：f(x) = \frac{1}{5}x \cdot f'(x) + r_1(x)
提示：辗转相除法中，余数可以乘以非零常数，不影响最大公因式。
步骤 3/7
目标：辗转相除法第二步：f'(x)除以5r_1(x)
用 $5r_1(x)$ 除 $f'(x)$，商为 $\frac{5}{3}$，余数 $r_2(x) = -\frac{14}{3}x^{3}-10x^{2}-10x-\frac{16}{3}$。乘以3并取负得 $7x^{3}+15x^{2}+15x+8$。
公式：f'(x) = \frac{5}{3} \cdot (5r_1(x)) + r_2(x)
提示：注意多项式除法中，当被除式次数等于除式次数时，商为常数。
步骤 4/7
目标：辗转相除法第三步：5r_1(x)除以7x^3+15x^2+15x+8
用 $7x^{3}+15x^{2}+15x+8$ 除 $5r_1(x)$，商为 $\frac{3}{7}x$，余数 $r_3(x) = \frac{25}{7}x^{3}+\frac{60}{7}x^{2}+\frac{60}{7}x+5$。乘以7并除以5得 $5x^{3}+12x^{2}+12x+7$。
公式：5r_1(x) = \frac{3}{7}x \cdot (7x^{3}+15x^{2}+15x+8) + r_3(x)
提示：注意系数化为整数时，要确保整除关系不变。
步骤 5/7
目标：辗转相除法第四步：7x^3+15x^2+15x+8除以5x^3+12x^2+12x+7
用 $5x^{3}+12x^{2}+12x+7$ 除 $7x^{3}+15x^{2}+15x+8$，商为 $\frac{7}{5}$，余数 $r_4(x) = -\frac{9}{5}(x^{2}+x+1)$。去掉常数因子得 $x^{2}+x+1$。
公式：7x^{3}+15x^{2}+15x+8 = \frac{7}{5}(5x^{3}+12x^{2}+12x+7) + r_4(x)
提示：余数可以乘以非零常数，这里提取公因子 $\frac{9}{5}$。
步骤 6/7
目标：辗转相除法第五步：5x^3+12x^2+12x+7除以x^2+x+1
用 $x^{2}+x+1$ 除 $5x^{3}+12x^{2}+12x+7$，商为 $5x+7$，余数为0。因此最大公因式为 $x^{2}+x+1$。
公式：5x^{3}+12x^{2}+12x+7 = (5x+7)(x^{2}+x+1)
提示：验证整除：$(5x+7)(x^{2}+x+1)=5x^{3}+12x^{2}+12x+7$。
步骤 7/7
目标：结论
由于 $\gcd(f(x), f'(x)) = x^{2}+x+1$ 的次数为2，大于0，因此 $f(x)$ 有重因式，重因式为 $x^{2}+x+1$。
提示：多项式有重因式的充要条件是 $\gcd(f, f')$ 的次数大于0。
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