南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3． 4 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-2,-1,1,2$ ，则 $\left|A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解特征值与行列式的关系
对于任意 $n$ 阶矩阵 $A$，其行列式 $|A|$ 等于所有特征值的乘积（包括重数）。本题中 $A$ 是4阶矩阵，特征值为 $-2, -1, 1, 2$。
公式：$|A| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
提示：注意特征值可能为0，此时行列式为0，矩阵不可逆。
步骤 2/5
目标：计算矩阵A的行列式
将特征值相乘：$|A| = (-2) \times (-1) \times 1 \times 2 = 4$。
提示：注意负负得正，乘积为4。
步骤 3/5
目标：理解逆矩阵的行列式性质
若矩阵 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 的行列式等于 $A$ 的行列式的倒数，即 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。
公式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
提示：该性质成立的前提是 $A$ 可逆，即 $|A| \neq 0$。
步骤 4/5
目标：计算逆矩阵的行列式
代入 $|A| = 4$，得 $|A^{-1}| = \frac{1}{4}$。
提示：结果是一个分数，注意不要写成4。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，$\left|A^{-1}\right| = \frac{1}{4}$。
提示：答案应填写为 $\frac{1}{4}$ 或0.25。
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