南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三．（10分）求 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 2
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列变换：将所有列加到第一列
将行列式 $D_n$ 的第 $2,3,\dots,n$ 列都加到第 $1$ 列，得到新行列式：
$$ D_n = \begin{vmatrix}
n+1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
n+1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\
n+1 & 1 & 2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
n+1 & 1 & 1 & \cdots & 2
\end{vmatrix}. $$
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变
提示：注意加的是所有列，第一列每个元素都变成了 $n+1$。
步骤 2/5
目标：提取公因子
从第 $1$ 列提取公因子 $n+1$，得：
$$ D_n = (n+1) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & 2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 2
\end{vmatrix}. $$
公式：行列式性质：某列所有元素有公因子可提出
提示：提取公因子时，注意只对第一列操作，其他列不变。
步骤 3/5
目标：行变换：将第一行的-1倍加到其他行
将第 $1$ 行的 $-1$ 倍分别加到第 $2,3,\dots,n$ 行，得到：
$$ D_n = (n+1) \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{vmatrix}. $$
公式：行列式性质：将一行的倍数加到另一行，行列式值不变
提示：注意第一行本身不变，其他行第一列变为0，对角线上元素变为1。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式
此时行列式为上三角行列式，主对角线元素为 $1,1,1,\dots,1$，因此行列式值为 $1$。所以：
$$ D_n = (n+1) \cdot 1 = n+1. $$
公式：上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
提示：注意行列式已经是上三角形式，直接计算乘积即可。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，$n$ 阶行列式 $D_n = n+1$。
提示：最终答案是一个简单的表达式，注意不要遗漏 $n+1$。
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