南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八．（12 分）设 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明：存在 $\displaystyle m \times r$ 的列满秩矩阵 $F$ 和 $\displaystyle r \times n$ 的行满秩矩阵 $G$ ，使得 $\displaystyle A=F G$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用秩的标准形分解
设矩阵 $A$ 的秩为 $r$，则存在可逆矩阵 $P$（$m \times m$）和 $Q$（$n \times n$），使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。
公式：$PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆的，且 $A$ 的秩为 $r$ 是标准形存在的前提。
步骤 2/7
目标：解出 $A$ 的表达式
由 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，两边左乘 $P^{-1}$，右乘 $Q^{-1}$，得 $A = P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}$。
公式：$A = P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}$
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘和右乘不可交换。
步骤 3/7
目标：构造 $F$ 和 $G$
将 $P^{-1}$ 分块为 $(F \mid *)$，其中 $F$ 是 $P^{-1}$ 的前 $r$ 列构成的 $m \times r$ 矩阵；将 $Q^{-1}$ 分块为 $\begin{pmatrix} G \\ * \end{pmatrix}$，其中 $G$ 是 $Q^{-1}$ 的前 $r$ 行构成的 $r \times n$ 矩阵。
公式：$P^{-1} = (F \mid *), \quad Q^{-1} = \begin{pmatrix} G \\ * \end{pmatrix}$
提示：分块时注意 $F$ 的列数等于 $r$，$G$ 的行数等于 $r$。
步骤 4/7
目标：验证 $A = FG$
代入 $A$ 的表达式：$A = (F \mid *) \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} G \\ * \end{pmatrix} = F I_r G = FG$。
公式：$A = FG$
提示：计算时注意分块矩阵乘法，中间矩阵 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的作用是提取 $F$ 和 $G$ 的乘积。
步骤 5/7
目标：证明 $F$ 列满秩
由于 $P^{-1}$ 可逆，其列向量线性无关，而 $F$ 是 $P^{-1}$ 的前 $r$ 列，故 $F$ 的列向量也线性无关，即 $F$ 的秩为 $r$，所以 $F$ 是列满秩矩阵。
提示：可逆矩阵的列向量组线性无关，其子集也线性无关。
步骤 6/7
目标：证明 $G$ 行满秩
由于 $Q^{-1}$ 可逆，其行向量线性无关，而 $G$ 是 $Q^{-1}$ 的前 $r$ 行，故 $G$ 的行向量也线性无关，即 $G$ 的秩为 $r$，所以 $G$ 是行满秩矩阵。
提示：可逆矩阵的行向量组线性无关，其子集也线性无关。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在 $m \times r$ 列满秩矩阵 $F$ 和 $r \times n$ 行满秩矩阵 $G$，使得 $A = FG$。
提示：注意 $F$ 和 $G$ 的尺寸：$F$ 是 $m \times r$，$G$ 是 $r \times n$。
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