南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5．非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 ; \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=\lambda ; \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-\lambda\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda & -\lambda \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要写错符号。
步骤 2/7
目标：计算系数矩阵的行列式
$\det(A) = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 + 1 + 1 - \lambda - \lambda - \lambda = \lambda^3 - 3\lambda + 2$。因式分解得 $(\lambda-1)^2(\lambda+2)$。
公式：$\det(A) = \lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)^2(\lambda+2)$
提示：行列式计算时注意符号，对角线法则容易出错。
步骤 3/7
目标：确定可能有无穷多解的参数值
方程组有无穷多解当且仅当 $\det(A)=0$ 且秩相等。由 $\det(A)=0$ 得 $\lambda=1$ 或 $\lambda=-2$。
提示：不要忘记检查秩的条件，仅行列式为0不一定有无穷多解。
步骤 4/7
目标：检验 $\lambda=1$ 时的情况
当 $\lambda=1$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，秩为1。增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，行变换后第二行出现矛盾 $0=1$，故无解。
提示：注意增广矩阵的秩可能大于系数矩阵的秩，导致无解。
步骤 5/7
目标：检验 $\lambda=-2$ 时的情况
当 $\lambda=-2$ 时，$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$，行列式为0，且二阶子式 $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=3 \neq 0$，故秩为2。增广矩阵 $\bar{A} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：先判断系数矩阵的秩，再对增广矩阵进行行变换。
步骤 6/7
目标：对增广矩阵进行行变换
交换第1、2行：$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$。第2行加2倍第1行，第3行减第1行：$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & -4 \\ 0 & 3 & -3 & 4 \end{pmatrix}$。第3行加第2行：$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。秩为2，等于系数矩阵的秩，且小于未知数个数3，故有无穷多解。
提示：行变换要仔细，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，方程组有无穷多解时 $\lambda = -2$。
提示：最终答案只有一个值。
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