南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五．（12 分）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E$ ，证明：$\displaystyle r(E-A)+r(E+A)=n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并引入矩阵
已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2 = E$，即 $A$ 是对合矩阵。考虑矩阵 $E-A$ 和 $E+A$。
公式：A^2 = E
提示：注意 $A^2 = E$ 意味着 $A$ 可逆且 $A^{-1}=A$。
步骤 2/5
目标：推导乘积为零矩阵
计算 $(E-A)(E+A) = E^2 - A^2 = E - E = 0$，所以 $(E-A)(E+A)=0$。
公式：(E-A)(E+A) = E - A^2 = 0
提示：注意矩阵乘法不交换，但这里 $E$ 与 $A$ 可交换，所以展开正确。
步骤 3/5
目标：应用秩不等式得到上界
由 $(E-A)(E+A)=0$ 及秩不等式：若 $AB=0$，则 $r(A)+r(B) \leq n$。因此 $r(E-A)+r(E+A) \leq n$。
公式：r(A)+r(B) \leq n \text{ 当 } AB=0
提示：秩不等式成立是因为 $AB=0$ 意味着 $B$ 的列空间包含在 $A$ 的零空间中。
步骤 4/5
目标：利用恒等式得到下界
注意到 $E = \frac{1}{2}[(E-A)+(E+A)]$，因此 $n = r(E) = r\left(\frac{1}{2}[(E-A)+(E+A)]\right) \leq r(E-A)+r(E+A)$，因为秩满足 $r(X+Y) \leq r(X)+r(Y)$。
公式：r(X+Y) \leq r(X)+r(Y)
提示：这里 $\frac{1}{2}$ 是标量，不改变秩。
步骤 5/5
目标：综合上下界得出结论
由 $r(E-A)+r(E+A) \leq n$ 和 $r(E-A)+r(E+A) \geq n$，得 $r(E-A)+r(E+A)=n$。
提示：注意等号成立的条件是 $E-A$ 和 $E+A$ 的列空间正交且和等于全空间。
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