南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
七．（12 分）证明：实反对称矩阵的特征值为 0 或纯虚数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定特征值与特征向量
设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，即 $A^T = -A$。设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n$，满足 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，且 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$。
公式：A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：注意特征向量是复向量，因为特征值可能是复数。
步骤 2/6
目标：取共轭转置并利用反对称性
对方程 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ 两边取共轭转置，得到 $\mathbf{x}^* A^T = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$。由于 $A^T = -A$，代入得 $\mathbf{x}^* (-A) = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$，即 $-\mathbf{x}^* A = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$。
公式：\mathbf{x}^* A^T = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*,\quad A^T = -A
提示：共轭转置符号 $*$ 表示先转置再取共轭，注意顺序。
步骤 3/6
目标：右乘特征向量并代入
将 $-\mathbf{x}^* A = \bar{\lambda} \mathbf{x}^*$ 两边右乘 $\mathbf{x}$，得 $-\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。又因为 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，所以 $\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x}$，代入得 $-\lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x} = \bar{\lambda} \mathbf{x}^* \mathbf{x}$。
公式：-\mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \mathbf{x}^* \mathbf{x},\quad \mathbf{x}^* A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^* \mathbf{x}
提示：注意 $\mathbf{x}^* A \mathbf{x}$ 是标量，可以交换位置。
步骤 4/6
目标：化简得到特征值关系
由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，$\mathbf{x}^* \mathbf{x} > 0$，所以可以约去 $\mathbf{x}^* \mathbf{x}$，得到 $-\lambda = \bar{\lambda}$。
公式：-\lambda = \bar{\lambda}
提示：$\mathbf{x}^* \mathbf{x}$ 是正实数，因为它是各分量模平方和。
步骤 5/6
目标：推导特征值形式
设 $\lambda = a + bi$，其中 $a, b \in \mathbb{R}$，则 $\bar{\lambda} = a - bi$。代入 $-\lambda = \bar{\lambda}$ 得 $-(a+bi) = a - bi$，即 $-a - bi = a - bi$。比较实部和虚部：实部 $-a = a$ 推出 $a=0$；虚部 $-b = -b$ 恒成立。因此 $\lambda = bi$ 为纯虚数或零（当 $b=0$ 时）。
公式：\lambda = bi,\quad b \in \mathbb{R}
提示：注意 $b=0$ 时特征值为0，也是纯虚数的特例。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，实反对称矩阵的特征值只能是0或纯虚数。
提示：该结论对任意阶实反对称矩阵都成立。
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