南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四．（12分）在线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中定义
$$
\mathscr{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, X \mapsto\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right) X-X\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）记 $\displaystyle E_{i j}(i, j=1,2)$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 其余元素为 0 的二阶方阵，求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$下的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩与零度．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：定义线性变换并写出基
定义矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，则线性变换 $\mathscr{A}(X) = AX - XA$。基为 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$，其中 $E_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为1其余为0的矩阵。
公式：$\mathscr{A}(X) = AX - XA$
提示：注意线性变换的定义，$X$ 是二阶方阵。
步骤 2/8
目标：计算 $\mathscr{A}(E_{11})$
计算 $\mathscr{A}(E_{11}) = A E_{11} - E_{11} A$。
$A E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
$E_{11} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
相减得 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + (-1) \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}$。
公式：$\mathscr{A}(E_{11}) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
提示：矩阵乘法顺序不可交换，注意 $AX$ 与 $XA$ 的区别。
步骤 3/8
目标：计算 $\mathscr{A}(E_{12})$
计算 $\mathscr{A}(E_{12}) = A E_{12} - E_{12} A$。
$A E_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
$E_{12} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
相减得 $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 1 \cdot E_{22}$。
公式：$\mathscr{A}(E_{12}) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
提示：注意 $E_{12}$ 只有第1行第2列为1，其余为0。
步骤 4/8
目标：计算 $\mathscr{A}(E_{21})$
计算 $\mathscr{A}(E_{21}) = A E_{21} - E_{21} A$。
$A E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
$E_{21} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
相减得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + (-1) \cdot E_{22}$。
公式：$\mathscr{A}(E_{21}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
提示：注意 $E_{21}$ 的位置。
步骤 5/8
目标：计算 $\mathscr{A}(E_{22})$
计算 $\mathscr{A}(E_{22}) = A E_{22} - E_{22} A$。
$A E_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
$E_{22} A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
相减得 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + (-1) \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}$。
公式：$\mathscr{A}(E_{22}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意符号。
步骤 6/8
目标：写出变换矩阵
将每个基向量的像按坐标写成列向量，得到变换矩阵 $M$：
$M = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$M$ 的第 $j$ 列是 $\mathscr{A}(E_{j})$ 在基下的坐标
提示：注意列的顺序对应基的顺序：$E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$。
步骤 7/8
目标：求矩阵的秩
对 $M$ 进行初等行变换：
$M \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
非零行数为2，所以秩 $r = 2$。
公式：秩 = 非零行数
提示：行变换要仔细，避免计算错误。
步骤 8/8
目标：求零度
线性空间 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的维数为4，由维数公式：$\dim \ker \mathscr{A} = 4 - r = 4 - 2 = 2$。
公式：$\dim V = \dim \ker \mathscr{A} + \operatorname{rank} \mathscr{A}$
提示：零度即核空间的维数。
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