南京理工大学 2023年高等代数第0题

九．（20 分）在数域 $P$ 上的线性空间 $\displaystyle P[x]_{3}=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2} \in P\right\}$ 上定义 $$ f_{t}: P[x]_{3} \rightarrow P, p(x) \mapsto p(t) $$ 其中 $\displaystyle t=0,-1,1$ ． （1）证明：$\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是对偶空间 $\displaystyle L\left(P[x]_{3}, P\right)$ 的一组基； （2）求 $\displaystyle P[x]_{3}$ 的一组基 $\displaystyle p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)$ ，使得 $\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是它的对偶基．