南京理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六．（12 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明：$\displaystyle \{g(A) \mid g(x) \in P[x]\}$ 是 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的维数不超过 $n$ 的线性子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义集合W并验证子空间条件
令 $W = \{ g(A) \mid g(x) \in P[x] \}$。首先验证 $W$ 是 $P^{n \times n}$ 的线性子空间：
- 零矩阵：取 $g(x)=0$，则 $g(A)=0 \in W$。
- 加法封闭：对任意 $g(A), h(A) \in W$，有 $g(A)+h(A) = (g+h)(A) \in W$。
- 数乘封闭：对任意 $k \in P$，$k \cdot g(A) = (kg)(A) \in W$。
因此 $W$ 是 $P^{n \times n}$ 的线性子空间。
提示：注意零多项式对应零矩阵，加法与数乘对应多项式运算。
步骤 2/5
目标：引入极小多项式并利用带余除法
设 $A$ 的极小多项式为 $m(x)$，次数 $d = \deg m(x) \leq n$。对任意 $g(x) \in P[x]$，由带余除法，存在多项式 $q(x), r(x)$ 使得 $g(x) = m(x)q(x) + r(x)$，其中 $\deg r(x) < d$。代入 $x=A$ 得 $g(A) = m(A)q(A) + r(A)$。由于 $m(A)=0$，故 $g(A)=r(A)$。因此 $W$ 中每个元素可表示为次数小于 $d$ 的多项式在 $A$ 处的值。
公式：$g(x) = m(x)q(x) + r(x)$，$\deg r < d$
提示：极小多项式次数不超过n，且满足m(A)=0。
步骤 3/5
目标：将W表示为有限个矩阵的线性组合
设 $r(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{d-1} x^{d-1}$，则 $r(A) = a_0 I + a_1 A + \cdots + a_{d-1} A^{d-1}$。因此 $W$ 中任意元素可表示为 $I, A, A^2, \dots, A^{d-1}$ 的线性组合，即 $W \subseteq \operatorname{span}\{I, A, \dots, A^{d-1}\}$。反之，这些矩阵本身属于 $W$（取对应多项式），故 $W = \operatorname{span}\{I, A, \dots, A^{d-1}\}$。
公式：$r(A) = \sum_{i=0}^{d-1} a_i A^i$
提示：注意线性组合的系数来自数域P。
步骤 4/5
目标：估计W的维数
由于 $W$ 由 $d$ 个矩阵 $I, A, \dots, A^{d-1}$ 张成，故 $\dim W \leq d$。又因为 $d \leq n$，所以 $\dim W \leq n$。
公式：$\dim W \leq d \leq n$
提示：维数不超过生成元个数，但可能小于，因为生成元可能线性相关。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，$W = \{ g(A) \mid g(x) \in P[x] \}$ 是 $P^{n \times n}$ 的线性子空间，且维数不超过 $n$。
提示：注意维数可能小于n，例如A是数量矩阵时W维数为1。
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