南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．求 $a, b$ 的值，使得 $(x-1)^{2} \mid f(x)$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解整除条件
要使 $(x-1)^2 \mid f(x)$，即 $x=1$ 是 $f(x)$ 的二重根，则 $f(1)=0$ 且 $f'(1)=0$。
提示：注意二重根的条件是函数值和一阶导数均为0。
步骤 2/6
目标：写出多项式表达式
设 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2-1$。
提示：正确写出多项式，注意常数项为-1。
步骤 3/6
目标：计算f(1)并令其为零
计算 $f(1)=1^4 + a\cdot 1^3 + b\cdot 1^2 -1 = 1 + a + b -1 = a + b$。令 $f(1)=0$，得 $a+b=0$。
提示：代入时注意各项系数和指数。
步骤 4/6
目标：求导并计算f'(1)
对 $f(x)$ 求导：$f'(x)=4x^3+3ax^2+2bx$。代入 $x=1$：$f'(1)=4\cdot1^3+3a\cdot1^2+2b\cdot1=4+3a+2b$。令 $f'(1)=0$，得 $4+3a+2b=0$。
公式：导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$
提示：求导时注意系数和指数运算，不要遗漏项。
步骤 5/6
目标：解方程组
解方程组：
\begin{cases}
a+b=0 \\
4+3a+2b=0
\end{cases}
由第一式得 $b=-a$，代入第二式：$4+3a+2(-a)=4+3a-2a=4+a=0$，解得 $a=-4$，则 $b=4$。
提示：代入消元时注意符号变化。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，当 $a=-4$，$b=4$ 时，$(x-1)^2 \mid f(x)$。
提示：最终答案要明确写出a和b的值。
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