📝 南京航空航天大学 2022年高等代数真题

1．求 $a, b$ 的值，使得 $(x-1)^{2} \mid f(x)$ ；

2．求矩阵 $A$ 的全部特征值；

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

1．证明方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 2 ；

2．求 $a, b$ 的值；

3．求线性方程组的解．（15 分）
三。设 3 维实向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\sigma$ 使得 $\sigma\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b x_{1}+x_{3} \\ -2 x_{1}+x_{2}+a x_{3} \\ x_{1}\end{array}\right)$ ．

1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．

2．若矩阵 $A$ 相似于对角矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，求 $a, b$ 的值．

3．若 $a=3, b=-1$ ，试证明 $A$ 不能与对角矩阵相似，并求 $A$ 的 Jordan 标准形．（20 分）

## （第三问，编者认为数据有误。）

1．求正交矩阵 $U$ ；

2．求矩阵 $A$ 。（20 分）（编者认为本题数据有误，也不完整）

1．证明 $\sigma$ 可逆的充分必要条件是存在一个常数项不为零的多项式 $f(x)$ ，使得 $f(\sigma)=0$.

2．设 3 阶可逆矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，试求一多项式 $g(x)$ ，使得 $A^{-1}=g(A)$ ．（20 分）

1．$R(A) \bigcap N(A)=0, \quad R(A) \bigcap R(B)=0$.

1．$A, B$ 都是正定矩阵；

2．$A B$ 是正定矩阵；

3．若 $A^{2}-B^{2}$ 是正定矩阵，则 $A-B$ 也是正定矩阵．（20 分）

1．秩 $(A B C) \geq$ 秩 $(A B)+$ 秩 $(B C)-$ 秩 $(B)$ 。

2．如果秩 $(A B)=$ 秩 $(A)$ ，那么秩 $(C A)=$ 秩 $(C A B)$ 。（20分）