南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．若 $a=3, b=-1$ ，试证明 $A$ 不能与对角矩阵相似，并求 $A$ 的 Jordan 标准形．（20 分）
## （第三问，编者认为数据有误。）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出矩阵并计算特征多项式
假设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。计算特征多项式：$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & 0 \\ -3 & \lambda-2 & 0 \\ 1 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^3$。
公式：$|\lambda I - A| = (\lambda-2)^3$
提示：注意行列式计算时，上三角矩阵的行列式等于对角线乘积。
步骤 2/7
目标：确定特征值及其代数重数
由特征多项式得特征值 $\lambda = 2$（三重根），代数重数为 $3$。
提示：代数重数是特征根的重数。
步骤 3/7
目标：计算几何重数
计算 $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为 $1$，故几何重数 $= 3 - \text{rank}(A-2I) = 2$。
公式：几何重数 $= n - \text{rank}(A-\lambda I)$
提示：几何重数是特征空间的维数，即 $(A-\lambda I)x=0$ 的解空间维数。
步骤 4/7
目标：判断是否可对角化
几何重数 $2$ 小于代数重数 $3$，所以 $A$ 不能与对角矩阵相似。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
步骤 5/7
目标：计算 $(A-2I)^2$ 的秩
计算 $(A-2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为 $0$。
提示：注意矩阵乘法，零矩阵的秩为0。
步骤 6/7
目标：确定Jordan块结构
Jordan块个数 $= n - \text{rank}(A-\lambda I) = 3-1=2$。由于 $(A-2I)^2=0$ 而 $(A-2I)\neq 0$，最大Jordan块阶数为 $2$。因此Jordan标准形由一个2阶Jordan块和一个1阶Jordan块组成。
公式：Jordan块个数 $= n - \text{rank}(A-\lambda I)$
提示：当 $(A-\lambda I)^k=0$ 时，最大Jordan块阶数为 $k$。
步骤 7/7
目标：写出Jordan标准形
Jordan标准形为 $J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：注意Jordan块中特征值在对角线上，次对角线为1。
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