南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．证明 $\sigma$ 可逆的充分必要条件是存在一个常数项不为零的多项式 $f(x)$ ，使得 $f(\sigma)=0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目与基本概念
题目要求证明线性变换 $\sigma$ 可逆的充要条件是存在一个常数项不为零的多项式 $f(x)$ 使得 $f(\sigma)=0$。这里 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$f(\sigma)$ 表示将多项式中的变量 $x$ 替换为 $\sigma$ 得到的线性变换。
提示：注意多项式 $f(x)$ 的常数项非零，且 $f(\sigma)=0$ 是零变换。
步骤 2/5
目标：必要性证明：从可逆性推出存在多项式
假设 $\sigma$ 可逆。考虑 $\sigma$ 的特征多项式 $\chi_\sigma(x)=\det(xI-\sigma)$。特征多项式的常数项为 $\chi_\sigma(0)=\det(-\sigma)=(-1)^n\det(\sigma)$。由于 $\sigma$ 可逆，$\det(\sigma)\neq0$，故常数项非零。由 Hamilton-Cayley 定理，$\chi_\sigma(\sigma)=0$。取 $f(x)=\chi_\sigma(x)$，则 $f(\sigma)=0$ 且常数项非零。必要性得证。
公式：$\chi_\sigma(\sigma)=0$ (Hamilton-Cayley定理)
提示：注意特征多项式常数项的计算：$\chi_\sigma(0)=(-1)^n\det(\sigma)$。
步骤 3/5
目标：充分性证明：从多项式条件推出可逆性
假设存在常数项非零的多项式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$（$a_0\neq0$）使得 $f(\sigma)=0$，即 $a_0I + a_1\sigma + \cdots + a_m\sigma^m = 0$。
公式：$f(\sigma)=a_0I + a_1\sigma + \cdots + a_m\sigma^m = 0$
提示：注意 $f(\sigma)$ 是线性变换，$0$ 表示零变换。
步骤 4/5
目标：充分性证明：构造逆变换
由 $a_0I + a_1\sigma + \cdots + a_m\sigma^m = 0$ 可得 $a_0I = -\sigma(a_1I + a_2\sigma + \cdots + a_m\sigma^{m-1})$。令 $g(\sigma)=a_1I + a_2\sigma + \cdots + a_m\sigma^{m-1}$，则 $a_0I = -\sigma \circ g(\sigma)$。由于 $a_0\neq0$，两边除以 $a_0$ 得 $I = \sigma \circ \left(-\frac{1}{a_0}g(\sigma)\right)$。因此 $\sigma$ 可逆，且 $\sigma^{-1} = -\frac{1}{a_0}g(\sigma)$。充分性得证。
公式：$\sigma^{-1} = -\frac{1}{a_0}(a_1I + a_2\sigma + \cdots + a_m\sigma^{m-1})$
提示：注意提取公因子 $\sigma$ 时，$\sigma$ 与多项式可交换，因为 $\sigma$ 与自身可交换。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
综合必要性和充分性，$\sigma$ 可逆当且仅当存在常数项非零的多项式 $f(x)$ 使得 $f(\sigma)=0$。
提示：充要条件的两端都要证明，缺一不可。
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