南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．如果秩 $(A B)=$ 秩 $(A)$ ，那么秩 $(C A)=$ 秩 $(C A B)$ 。（20分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A)$，其中 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，$C$ 为 $q \times m$ 矩阵。由秩的性质，$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$，等式成立意味着 $AB$ 的列空间与 $A$ 的列空间维数相等。
公式：$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$
提示：注意矩阵乘法要求列数匹配，这里 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。
步骤 2/6
目标：推导列空间相等
由于 $\operatorname{Col}(AB) \subseteq \operatorname{Col}(A)$ 且维数相等，故 $\operatorname{Col}(AB) = \operatorname{Col}(A)$。这是因为若子空间包含关系且维数相同，则两子空间相等。
公式：$\operatorname{Col}(AB) \subseteq \operatorname{Col}(A)$，$\dim \operatorname{Col}(AB) = \dim \operatorname{Col}(A)$
提示：注意列空间是 $A$ 的列向量张成的空间，$AB$ 的列是 $A$ 的列的线性组合。
步骤 3/6
目标：考虑左乘矩阵C后的列空间
左乘 $C$ 相当于对列空间进行线性变换。$\operatorname{Col}(CAB) = C \operatorname{Col}(AB)$，$\operatorname{Col}(CA) = C \operatorname{Col}(A)$。由于 $\operatorname{Col}(AB) = \operatorname{Col}(A)$，因此 $C \operatorname{Col}(AB) = C \operatorname{Col}(A)$，即 $\operatorname{Col}(CAB) = \operatorname{Col}(CA)$。
公式：$\operatorname{Col}(CAB) = C \operatorname{Col}(AB)$，$\operatorname{Col}(CA) = C \operatorname{Col}(A)$
提示：注意 $C$ 是 $q \times m$ 矩阵，左乘后列空间维数可能减小，但这里等式保证相等。
步骤 4/6
目标：由列空间相等推出秩相等
因为两个矩阵的列空间相等，所以它们的秩（即列空间的维数）相等。故 $\operatorname{rank}(CAB) = \operatorname{rank}(CA)$。
公式：$\operatorname{rank}(X) = \dim \operatorname{Col}(X)$
提示：秩定义为列空间的维数，列空间相等则秩相等。
步骤 5/6
目标：另一种证法：利用Sylvester秩不等式（可选）
Sylvester秩不等式：$\operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y) - n \leq \operatorname{rank}(XY) \leq \min\{\operatorname{rank}(X), \operatorname{rank}(Y)\}$，其中 $n$ 是 $X$ 的列数。由 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A)$ 可推出 $\operatorname{rank}(A) \leq \operatorname{rank}(B)$，但直接证所需不等式并不简单。实际上，$\operatorname{rank}(CAB) \leq \operatorname{rank}(CA)$ 总是成立，而反向不等式需要条件。这里用列空间方法更直接。
公式：$\operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(Y) - n \leq \operatorname{rank}(XY)$
提示：Sylvester不等式常用于处理秩的不等式，但本题用列空间更直观。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，若 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A)$，则 $\operatorname{rank}(CA) = \operatorname{rank}(CAB)$ 成立。
提示：注意结论对任意矩阵 $C$ 成立，只要乘法有意义。
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