南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．$A, B$ 都是正定矩阵；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解正定矩阵的定义
正定矩阵是指对于任意非零列向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有 $x^T A x > 0$ 的对称矩阵。同样，$B$ 也是正定矩阵。
公式：$x^T A x > 0$ 对所有 $x \neq 0$ 成立
提示：注意正定矩阵必须是对称的，且所有特征值大于0。
步骤 2/6
目标：考虑矩阵和 $A+B$ 的正定性
对于任意非零向量 $x$，有 $x^T (A+B) x = x^T A x + x^T B x$。由于 $A$ 和 $B$ 正定，$x^T A x > 0$ 且 $x^T B x > 0$，因此 $x^T (A+B) x > 0$。所以 $A+B$ 也是正定矩阵。
公式：$x^T (A+B) x = x^T A x + x^T B x$
提示：注意 $A+B$ 的对称性由 $A$ 和 $B$ 的对称性保证。
步骤 3/6
目标：考虑矩阵乘积 $AB$ 的正定性
一般情况下，$AB$ 不一定对称，因此不一定是正定矩阵。但若 $A$ 和 $B$ 可交换（即 $AB=BA$），则 $AB$ 是对称的，且其特征值为 $A$ 和 $B$ 特征值的乘积，均为正，故 $AB$ 正定。
公式：若 $AB=BA$，则 $AB$ 对称且特征值 $\lambda_i(AB)=\lambda_i(A)\lambda_i(B)>0$
提示：注意正定矩阵要求对称，$AB$ 一般不对称，除非可交换。
步骤 4/6
目标：考虑 $A^{-1}$ 的正定性
由于 $A$ 正定，其特征值 $\lambda_i > 0$，则 $A^{-1}$ 的特征值为 $1/\lambda_i > 0$，且 $A^{-1}$ 对称，故 $A^{-1}$ 正定。
公式：$\lambda_i(A^{-1}) = 1/\lambda_i(A)$
提示：注意 $A^{-1}$ 的对称性由 $A$ 的对称性保证。
步骤 5/6
目标：考虑 $A$ 的平方根
正定矩阵 $A$ 存在唯一的正定平方根 $A^{1/2}$，满足 $(A^{1/2})^2 = A$，且 $A^{1/2}$ 也是对称正定矩阵。
公式：$A = (A^{1/2})^2$
提示：平方根的存在性依赖于谱定理。
步骤 6/6
目标：考虑 $AB$ 的特征值正性（不要求对称）
虽然 $AB$ 不一定对称，但 $AB$ 相似于 $A^{1/2} B A^{1/2}$（因为 $AB = A^{1/2} (A^{1/2} B A^{1/2}) A^{-1/2}$），而 $A^{1/2} B A^{1/2}$ 是对称正定矩阵，故其特征值全为正，因此 $AB$ 的特征值全为正。
公式：$AB \sim A^{1/2} B A^{1/2}$
提示：注意相似变换保持特征值，但 $AB$ 不一定对称，故不能说正定，只能说特征值正。
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