南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析最小多项式条件
已知 $x^2-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，即 $m_A(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$。由于最小多项式无重根，因此 $A$ 可对角化，且特征值只能为 $1$ 和 $-1$。
公式：$m_A(x)=x^2-1$
提示：注意最小多项式无重根是对角化的充要条件。
步骤 2/5
目标：确定Jordan标准形
由于 $A$ 可对角化且特征值只有 $1$ 和 $-1$，故存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A=P\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & -I_s \end{pmatrix}P^{-1}$，其中 $r$ 是特征值 $1$ 的代数重数，$s$ 是特征值 $-1$ 的代数重数，且 $r+s=n$，$n$ 为 $A$ 的阶数。
公式：$A=P\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & -I_s \end{pmatrix}P^{-1}$
提示：注意对角矩阵中 $I_r$ 和 $-I_s$ 分别对应特征值 $1$ 和 $-1$。
步骤 3/5
目标：计算 $A+E$ 的秩
由 $A+E = P\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & -I_s \end{pmatrix}P^{-1} + P I_n P^{-1} = P\begin{pmatrix} 2I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P^{-1}$，因此 $r(A+E)=r\begin{pmatrix} 2I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=r$。
公式：$A+E = P\begin{pmatrix} 2I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P^{-1}$
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，相似变换下秩不变。
步骤 4/5
目标：计算 $A-E$ 的秩
由 $A-E = P\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & -I_s \end{pmatrix}P^{-1} - P I_n P^{-1} = P\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2I_s \end{pmatrix}P^{-1}$，因此 $r(A-E)=r\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2I_s \end{pmatrix}=s$。
公式：$A-E = P\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2I_s \end{pmatrix}P^{-1}$
提示：注意 $-2I_s$ 可逆，秩为 $s$。
步骤 5/5
目标：求和并得出结果
因此 $r(A+E)+r(A-E)=r+s=n$，其中 $n$ 是 $A$ 的阶数。由于题目未明确 $n$，答案用 $n$ 表示。
公式：$r(A+E)+r(A-E)=n$
提示：注意 $n$ 是 $A$ 的阶数，不要遗漏。
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