南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．若矩阵 $A$ 相似于对角矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，求 $a, b$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定矩阵A的特征值
由于矩阵 $A$ 相似于对角矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，相似矩阵具有相同的特征值，因此 $A$ 的特征值为 $1$（二重）和 $-1$（单重）。
提示：注意特征值的重数：对角矩阵中1出现两次，-1出现一次。
步骤 2/6
目标：写出A的特征多项式
由特征值可得 $A$ 的特征多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda+1)$。
公式：$f(\lambda) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$
提示：特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，注意符号。
步骤 3/6
目标：假设A的具体形式
题目中 $A$ 的形式未直接给出，但根据常见题型，假设 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的假设形式可能不同，但本题中A是对角矩阵形式。
步骤 4/6
目标：计算假设矩阵的特征多项式
对于 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，其特征多项式为 $(\lambda-a)(\lambda-b)(\lambda+1)$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-a)(\lambda-b)(\lambda+1)$
提示：对角矩阵的特征多项式即对角线上元素乘积。
步骤 5/6
目标：比较特征多项式确定a和b
由相似性，两个特征多项式相等：$(\lambda-a)(\lambda-b)(\lambda+1) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)$。两边约去 $(\lambda+1)$（假设 $\lambda \neq -1$，但多项式恒等），得 $(\lambda-a)(\lambda-b) = (\lambda-1)^2$。展开右边得 $\lambda^2 - 2\lambda + 1$，左边为 $\lambda^2 - (a+b)\lambda + ab$。比较系数得 $a+b=2$，$ab=1$。解得 $a=1, b=1$。
公式：$(\lambda-a)(\lambda-b) = (\lambda-1)^2$
提示：多项式恒等要求所有对应系数相等，注意二次项系数已自动相等。
步骤 6/6
目标：验证结果
当 $a=1, b=1$ 时，$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，与已知对角矩阵相同，显然相似。
提示：验证确保解的正确性。
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