南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设 3 阶可逆矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，试求一多项式 $g(x)$ ，使得 $A^{-1}=g(A)$ ．（20 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算特征多项式
计算矩阵 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$。
$$f(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2(\lambda+1)$$
公式：$f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$
提示：注意行列式的计算，上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积。
步骤 2/7
目标：应用Cayley-Hamilton定理
由Cayley-Hamilton定理，$f(A)=0$，即 $(A-I)^2(A+I)=0$。展开得 $A^3-A^2-A+I=0$，所以 $A^3=A^2+A-I$。
公式：$f(A)=0$
提示：注意矩阵运算中，$(A-I)^2(A+I)$ 展开时不要遗漏项。
步骤 3/7
目标：设定多项式形式
设 $g(x)=ax^2+bx+c$，则 $A^{-1}=aA^2+bA+cI$。两边左乘 $A$ 得 $I=aA^3+bA^2+cA$。
公式：$A^{-1}=g(A)$
提示：多项式次数可以设为二次，因为特征多项式是三次，且 $A$ 可逆。
步骤 4/7
目标：代入化简
将 $A^3=A^2+A-I$ 代入 $I=aA^3+bA^2+cA$，得 $I=a(A^2+A-I)+bA^2+cA=(a+b)A^2+(a+c)A+(-a)I$。
提示：注意矩阵的线性组合，系数对应相等。
步骤 5/7
目标：比较系数求解
比较系数得方程组：
$$\begin{cases}a+b=0 \\ a+c=0 \\ -a=1\end{cases}$$
解得 $a=-1,\,b=1,\,c=1$。
提示：注意常数项对应 $I$ 的系数。
步骤 6/7
目标：写出多项式
因此 $g(x)=-x^2+x+1$，即 $A^{-1}=-A^2+A+I$。
提示：验证时计算 $A^2$ 并代入。
步骤 7/7
目标：验证结果
计算 $A^2=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$，则
$$-A^2+A+I=-\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$$
而 $A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$，一致。
提示：验证可避免计算错误。
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