南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．证明方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 2 ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出系数矩阵
假设方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\
2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 = 2 \\
3x_1 + 4x_2 + 5x_3 + 6x_4 = 3
\end{cases}
$$
则系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
$$
提示：注意系数矩阵只包含方程中变量的系数，不包括常数项。
步骤 2/6
目标：初等行变换化简矩阵
对矩阵 $A$ 进行初等行变换：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
再执行 $R_3 - R_2$：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：初等行变换不改变矩阵的秩。注意变换过程中保持等号对齐。
步骤 3/6
目标：确定行阶梯形矩阵的非零行数
行阶梯形矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
非零行有2行，因此 $\operatorname{rank}(A) = 2$。
提示：行阶梯形矩阵中，全零行不计入秩。
步骤 4/6
目标：验证存在非零2阶子式
取矩阵 $A$ 的前两行和前两列构成的2阶子式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
2 & 3
\end{vmatrix} = 1 \times 3 - 1 \times 2 = 1 \neq 0
$$
因此存在非零2阶子式。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：子式必须取自原矩阵，而非变换后的矩阵。
步骤 5/6
目标：验证所有3阶子式为零
由于矩阵只有3行，任意3阶子式取所有三行。但行阶梯形中第三行为零行，说明三行线性相关，因此所有3阶子式均为0。例如取前三列的子式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5
\end{vmatrix} = 0
$$
（可通过计算或观察行阶梯形得知）
提示：3阶子式为零的验证可以通过行变换或直接计算，但注意行变换后子式可能变化，但秩不变。
步骤 6/6
目标：得出结论
由行阶梯形有2个非零行，且存在非零2阶子式，所有3阶子式为零，故 $\operatorname{rank}(A) = 2$。
提示：秩的定义：矩阵中最高阶非零子式的阶数。
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