南京航空航天大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
3．求线性方程组的解．（15 分）
三。设 3 维实向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\sigma$ 使得 $\sigma\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b x_{1}+x_{3} \\ -2 x_{1}+x_{2}+a x_{3} \\ x_{1}\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出线性变换在标准基下的矩阵
设线性变换 $\sigma$ 在标准基下的矩阵为 $A$，则 $\sigma(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$。由 $\sigma\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b x_1 + x_3\\-2x_1 + x_2 + a x_3\\x_1\end{pmatrix}$，可得 $A = \begin{pmatrix}b & 0 & 1\\-2 & 1 & a\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的列对应基向量的像，标准基下第 $j$ 列是 $\sigma(\mathbf{e}_j)$。
步骤 2/7
目标：将问题转化为齐次线性方程组
求线性方程组的解，即求 $\sigma(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ 的解，也就是解齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$。
公式：$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：注意是齐次方程组，常数项全为0。
步骤 3/7
目标：写出增广矩阵
写出增广矩阵：$\begin{pmatrix}b & 0 & 1 & 0\\-2 & 1 & a & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
提示：增广矩阵最后一列为零向量。
步骤 4/7
目标：行变换化为行最简形（第一步：交换行）
交换第1行和第3行，使第一行第一列为1：$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\-2 & 1 & a & 0\\b & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：交换行时注意对应关系。
步骤 5/7
目标：行变换化为行最简形（第二步：消去第一列）
将第2行加上2倍的第1行：$R_2 + 2R_1$，得到 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & a & 0\\b & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$。再将第3行减去 $b$ 倍的第1行：$R_3 - bR_1$，得到 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & a & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：注意 $b$ 是参数，但此处不影响计算。
步骤 6/7
目标：行变换化为行最简形（第三步：消去第二列）
将第2行减去 $a$ 倍的第3行：$R_2 - aR_3$，得到 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：注意 $a$ 是参数，但消去后不影响。
步骤 7/7
目标：得出解
行最简形对应的方程组为 $x_1=0, x_2=0, x_3=0$，因此方程组只有零解：$\mathbf{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$。
提示：齐次线性方程组有唯一零解当且仅当系数矩阵满秩。
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